Линейная алгебра. Курзина В.М. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

-6-
нейным пространством, которое называют пространством непрерывных
функций на отрезке [a, b] и обозначают С
[а, b]
.
1.2. Арифметическое пространство R
n
Рассмотрим множество R
n
, элементами которого являются упорядо-
ченные наборы
x
= (х
1
,
х
2
, ..., х
n
) произвольных действительных чисел.
Введем операцию сложения для двух произвольных наборов действитель-
ных чисел
x
= (х
1
, х
2
, ..., х
n
) и y = (у
1
,
,
у
2
, ..., у
n
) по правилу
x
+ y = (х
1
+ у
1
,
х
2
+ у
2
, ...,х
n
+ y
n
)
и операцию умножения набора на число α по правилу
α
x
= (αх
1
, αх
2
, ..., αх
n
).
Для данного множества
R
n
с введенными операциями выполняются
все аксиомы линейного пространства, поскольку они выполняются для
действительных чисел, составляющих наборы. Нулевым элементом в этом
пространстве является набор
0 = (0, 0, ..., 0), а противоположным для каж-
дого набора служит набор, составленный из его компонентов, умножен-
ных на −
1: (−
x
) = (−х
1
, −х
2
,..., −х
n
). Линейное пространство R
n
называют
арифметическим
пространством R
n
. Наборы чисел называют векторами
арифметического пространства
R
n
, числа, из которых состоит набор (век-
тор),
⎯ компонентами вектора. Элементы арифметического пространст-
ва
R
2
можно представлять на плоскости векторами с соответствующими
координатами, а элементы арифметического пространства
R
3
⎯ вектора-
ми в трехмерном пространстве. Ясно, что два вектора
x
и y будут равны
тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. Это
свойство является обобщением известного свойства для векторов на плос-
кости и в пространстве.
1.3. Подпространство
В любом линейном пространстве V можно выделить такое под-
множество векторов, которое относительно операций из
V само является
линейным пространством.
Подпространство W пространства V ⎯ это
непустое подмножество
W
⊂
V векторов, удовлетворяющих условию: ес-
ли
х, у
∈
W, то αх + βу ∈ W, где α, β ⎯ действительные числа. Иначе говоря,
применение линейных операций к векторам, принадлежащим этому под-
множеству, не выводит результат за пределы подмножества. Покажем, что 
                                   -6-

нейным пространством, которое называют пространством непрерывных
функций на отрезке [a, b] и обозначают С[а, b].


     1.2. Арифметическое пространство Rn

     Рассмотрим множество Rn, элементами которого являются упорядо-
ченные наборы x = (х1, х2, ..., хn) произвольных действительных чисел.
Введем операцию сложения для двух произвольных наборов действитель-
ных чисел x = (х1, х2, ..., хn) и y = (у1, ,у2, ..., уn) по правилу
                   x + y = (х1 + у1, х2 + у2, ...,х n + yn)
и операцию умножения набора на число α по правилу
                  α x = (αх1, αх2, ..., αхn).
      Для данного множества Rn с введенными операциями выполняются
все аксиомы линейного пространства, поскольку они выполняются для
действительных чисел, составляющих наборы. Нулевым элементом в этом
пространстве является набор 0 = (0, 0, ..., 0), а противоположным для каж-
дого набора служит набор, составленный из его компонентов, умножен-
ных на −1: (− x ) = (−х1, −х2,..., −хn). Линейное пространство Rn называют
арифметическим пространством Rn. Наборы чисел называют векторами
арифметического пространства Rn, числа, из которых состоит набор (век-
тор), ⎯ компонентами вектора. Элементы арифметического пространст-
ва R2 можно представлять на плоскости векторами с соответствующими
координатами, а элементы арифметического пространства R3 ⎯ вектора-
ми в трехмерном пространстве. Ясно, что два вектора x и y будут равны
тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. Это
свойство является обобщением известного свойства для векторов на плос-
кости и в пространстве.


     1.3. Подпространство

       В любом линейном пространстве V можно выделить такое под-
множество векторов, которое относительно операций из V само является
линейным пространством. Подпространство W пространства V ⎯ это
непустое подмножество W ⊂ V векторов, удовлетворяющих условию: ес-
ли
х, у∈ W, то αх + βу ∈ W, где α, β ⎯ действительные числа. Иначе говоря,
применение линейных операций к векторам, принадлежащим этому под-
множеству, не выводит результат за пределы подмножества. Покажем, что

Страницы