Линейная алгебра. Курзина В.М. - 9 стр.

                                       -8-

ции снова будет решением однородной системы уравнений. Значит, оба
условия определения линейного подпространства выполнены.
      Уравнение х + 2у − z = 0 имеет множество решений, состоящее из
векторов (х, у, х + 2у) (так как из уравнения получаем z = х + 2у) и являю-
щееся линейным подпространством в Rn.
      Пример 1.8. В линейном пространстве квадратных матриц порядка n
линейное подпространство образуют: а) все симметрические матрицы; б)
все верхние (нижние) треугольные матрицы. При сложении таких матриц
или умножении на число получаем матрицу того же вида. Напротив,
подмножество вырожденных матриц не является линейным подпростран-
ством, так как сумма двух вырожденных матриц может быть невырожден-
ной матрицей
                          ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 2 1⎞
                          ⎜⎜     ⎟⎟ + ⎜⎜     ⎟⎟ = ⎜⎜    ⎟⎟ .
                           ⎝ 1 0  ⎠ ⎝    0 1  ⎠ ⎝    1 1 ⎠
      Пример 1.9. В линейном пространстве С[0, 1] функций , непрерывных
на отрезке [0, 1] , можно выделить следующие линейные подпространства:
а) множество функций, непрерывных на отрезке [0, 1] и непрерывно диф-
ференцируемых в интервале (0, 1)(в основе этого утверждения лежат свой-
ства дифференцируемых функций: сумма дифференцируемых функций яв-
ляется дифференцируемой функцией, произведение дифференцируемой
функции на число также дифференцируемая функция); б) множество всех
многочленов; в) множество всех многочленов степени не выше n. Напро-
тив, множество всех монотонных функций, непрерывных на отрезке [0, 1],
очевидно, является подмножеством С[0, 1], но не является линейным под-
пространством, так как сумма двух монотонных функций может и не быть
монотонной функцией.
      Из двух векторов u ∈ V и v ∈ V с помощью чисел α, β можно соста-
вить вектор w = α u + β v ∈ V, который называется линейной комбина-
цией векторов u и v, принадлежащих пространству V. Числа α и β яв-
ляются коэффициентами линейной комбинации. Линейную комбинацию
можно составить из произвольного набора, содержащего больше двух век-
торов, например: α1 u 1 + α2 u 2 + ... + α к u к , где α1, α2, ..., αк ⎯ действи-
тельные числа.
      Совокупность векторов v 1, v 2, ..., v s, для линейной комбинации ко-
торых равенство α1 v 1 + α2 v 2 + ... + αs v s = 0 выполняется тогда и только
тогда, когда числа α1, α2, ..., αs все равны нулю, называется линейно не-
зависимой системой векторов. Система векторов, не являющаяся линей-
но независимой, ⎯ линейно зависимая.
      Критерий линейной независимости векторов. Если ни один из
векторов системы не является линейной комбинацией остальных, то такая
система векторов ⎯ линейно независимая.