Линейная алгебра. Курзина В.М. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

-11-
Пример 1.14. В линейном пространстве многочленов любой степени
не выше
n система функций 1, х, х
2
, х
3
, ..., х
n
является линейно независимой.
Действительно, линейная комбинация, составленная из этих функций,
представляет собой равенство нулю, которое должно выполняться при
произвольном значении
х: а
0
+ а
1
х + а
2
х
2
+ ... + а
n
х
n
= 0. Так как число 0
представимо в виде многочлена 0 = 0 + 0
х + 0х
2
+ ... + 0х
n
, то получаем ра-
венство двух многочленов одной и той же степени
n при любых значениях
переменного
х: а
0
+ а
1
х + а
2
х
2
+ ... + а
n
х
n
= 0 + 0х + 0х
2
+ ... + 0х
n
. Следова-
тельно, у этих многочленов должны совпадать коэффициенты при одина-
ковых степенях переменного
х, или а
0
= 0, а
1
= 0, а
2
= 0, ..., а
n
= 0. Значит,
система функций 1,
х, х
2
, х
3
, ..., х
n
⎯ линейно независима. При этом пока-
затель степени
n может принимать значения от 0 до ∞.
1.4. Базис, координаты вектора
В линейном пространстве наибольший интерес представляют систе-
мы векторов, в виде линейной комбинации которых можно представить
любой вектор, причем единственным
образом. Если зафиксировать такую
систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить
набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной
комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соот-
ношения числовые.
Этот подход уже применялся в аналитической геометрии [4]. В про-
странстве
V
2
любые два неколлинеарных вектора образуют базис, так как
через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однознач-
но в виде линейной комбинации. Аналогично, в пространстве
V
3
трехмер-
ных векторов базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для
матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По
теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независи-
мы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ба-
зисных строк (столбцов).
Базисом линейного пространства V называют упорядоченную ко-
нечную систему линейно независимых векторов, через которые линейно
выражается любой вектор пространства.
Пусть e
1
, e
2
, ..., e
n
⎯ базис в пространстве V. Определение базиса
говорит о том, что любой вектор
u ∈V может быть однозначно представлен
в виде u = u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ... + u
n
e
n
. Такую запись называют разложением
вектора u по базису e
1
, e
2
, ..., e
n
.
Данное определение базиса согласовывается с понятием базиса в
пространстве свободных векторов в
V
1
, V
2
, V
3
. Например, в V
3
базисом бы-
ла названа любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов 
                                      - 11 -

      Пример 1.14. В линейном пространстве многочленов любой степени
не выше n система функций 1, х, х2, х3, ..., хn является линейно независимой.
Действительно, линейная комбинация, составленная из этих функций,
представляет собой равенство нулю, которое должно выполняться при
произвольном значении х: а0 + а1х + а2х2 + ... + аnхn = 0. Так как число 0
представимо в виде многочлена 0 = 0 + 0х + 0х2 + ... + 0хn, то получаем ра-
венство двух многочленов одной и той же степени n при любых значениях
переменного х: а0 + а1х + а2х2 + ... + аnхn = 0 + 0х + 0х2 + ... + 0хn. Следова-
тельно, у этих многочленов должны совпадать коэффициенты при одина-
ковых степенях переменного х, или а0 = 0, а1 = 0, а2 = 0, ..., аn = 0. Значит,
система функций 1, х, х2, х3, ..., хn ⎯ линейно независима. При этом пока-
затель степени n может принимать значения от 0 до ∞.


      1.4. Базис, координаты вектора

      В линейном пространстве наибольший интерес представляют систе-
мы векторов, в виде линейной комбинации которых можно представить
любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую
систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить
набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной
комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соот-
ношения числовые.
      Этот подход уже применялся в аналитической геометрии [4]. В про-
странстве V2 любые два неколлинеарных вектора образуют базис, так как
через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однознач-
но в виде линейной комбинации. Аналогично, в пространстве V3 трехмер-
ных векторов базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для
матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По
теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независи-
мы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ба-
зисных строк (столбцов).
      Базисом линейного пространства V называют упорядоченную ко-
нечную систему линейно независимых векторов, через которые линейно
выражается любой вектор пространства.
      Пусть e 1, e 2, ..., e n ⎯ базис в пространстве V. Определение базиса
говорит о том, что любой вектор u ∈V может быть однозначно представлен
в виде u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n. Такую запись называют разложением
вектора u по базису e 1, e 2, ..., e n .
      Данное определение базиса согласовывается с понятием базиса в
пространстве свободных векторов в V1, V2, V3 . Например, в V3 базисом бы-
ла названа любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов

Страницы