ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 14 -
Аналогично для произведения действительного числа α на вектор u
получаем αu = α(u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ...+ u
n
e
n
) = (αu
1
)e
1
+ (αu
2
)e
2
+ ...+ (αu
n
) e
n
,
что и требовалось доказать.
Запись координат в матричной форме позволяет рассматривать опе-
рации сложения векторов и умножения вектора на число как соответст-
вующие операции над матрицами-столбцами, а именно, складывать соот-
ветствующие элементы матриц-столбцов и умножать элементы матрицы-
столбца на число. Запись утверждения теоремы в матричной форме
u + v =
= e (u + v), αu = e (αu) соответствует свойствам операций с матрицами.
Следствие. Линейная независимость векторов линейного простран-
ства эквивалентна линейной независимости их столбцов координат в од-
ном и том же базисе этого линейного пространства.
Если вектор
u
равен линейной комбинации системы векторов
u
1
,
u
2
,
...,
u
n
, т. е. u = α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ ... + α
n
u
n
, то его столбец координат u в задан-
ном базисе e равен линейной комбинации столбцов координат u
1
, u
2
, ..., u
n
векторов u
1
, u
2
, ..., u
n
в этом же базисе:
u
= α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ ... + α
n
u
n
.
Это следует из равенств: e u = α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ ... + α
n
u
n
= α
1
(eu
1
) + α
2
(eu
2
)+
+ ... + α
n
(eu
n
) = e (α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ ... + α
n
u
n
).
Пример 1.16. В линейном арифметическом пространстве R
n
система
векторов e
1
= (1, 0,..., 0), e
2
= (0, 1, 0,..., 0), ..., e
n
= (0, 0,..., 0, 1) образует ба-
зис e =e
1
, e
2
, ..., e
n
, так как мы ранее показали, что они линейно независи-
мы и любой вектор
u = (u
1
, u
2
,..., u
n
) ∈ R
n
представим в виде своего разло-
жения по этому базису u = u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ... + u
n
e
n
. Базис e = e
1
, e
2
, ..., e
n
в
пространстве
R
n
называют стандартным.
Число векторов базиса линейного пространства называют размерно-
стью пространства V и обозначают dim V.
Если размерность линейного пространства
V равна n, т. е. существует
линейно независимая система
n векторов, являющаяся его базисом, про
линейное пространство
V говорят, что оно n-мерно и dim V= n. Существу-
ют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независи-
мую систему, содержащую бесконечное множество векторов. Такие ли-
нейные пространства называют бесконечномерными.
Пример 1.17. Линейное пространство С
[ 0, 1]
функций , непрерывных
на отрезке [0, 1] , является бесконечномерным. Для любого натурального
n
система многочленов 1,
х, х
2
, х
3
,..., х
n
, являющихся элементами этого ли-
нейного пространства, линейно независима. В самом деле, линейная ком-
бинация этих многочленов, отвечающая набору коэффициентов α
0
, α
1
, α
2
,
..., α
n
, является многочленом n-й степени α
0
+ α
1
х + α
2
х
2
+ ... + α
n
х
n
, кото-
- 14 -
Аналогично для произведения действительного числа α на вектор u
получаем α u = α(u1 e 1 + u2 e 2 + ...+ un e n) = (αu1) e 1 + (αu2) e 2 + ...+ (αun) e n,
что и требовалось доказать.
Запись координат в матричной форме позволяет рассматривать опе-
рации сложения векторов и умножения вектора на число как соответст-
вующие операции над матрицами-столбцами, а именно, складывать соот-
ветствующие элементы матриц-столбцов и умножать элементы матрицы-
столбца на число. Запись утверждения теоремы в матричной форме u + v =
= e (u + v), α u = e (αu) соответствует свойствам операций с матрицами.
Следствие. Линейная независимость векторов линейного простран-
ства эквивалентна линейной независимости их столбцов координат в од-
ном и том же базисе этого линейного пространства.
Если вектор u равен линейной комбинации системы векторов u 1, u 2,
..., u n, т. е. u = α1 u 1 + α2 u 2 + ... + α n u n, то его столбец координат u в задан-
ном базисе e равен линейной комбинации столбцов координат u1, u2, ..., un
векторов u 1, u 2, ..., u n в этом же базисе:
u = α1u1 + α2 u2 + ... + αnun.
Это следует из равенств: e u = α1 u 1 + α2 u 2 + ... + α n u n = α1( e u1) + α2( e u2)+
+ ... + α n( e un) = e (α1u1 + α2 u2 + ... + α nun).
Пример 1.16. В линейном арифметическом пространстве Rn система
векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0), ..., e n = (0, 0,..., 0, 1) образует ба-
зис e = e 1, e 2, ..., e n, так как мы ранее показали, что они линейно независи-
мы и любой вектор u = (u1, u2,..., un) ∈ Rn представим в виде своего разло-
жения по этому базису u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n. Базис e = e 1, e 2, ..., e n в
пространстве Rn называют стандартным.
Число векторов базиса линейного пространства называют размерно-
стью пространства V и обозначают dim V.
Если размерность линейного пространства V равна n, т. е. существует
линейно независимая система n векторов, являющаяся его базисом, про
линейное пространство V говорят, что оно n-мерно и dim V= n. Существу-
ют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независи-
мую систему, содержащую бесконечное множество векторов. Такие ли-
нейные пространства называют бесконечномерными.
Пример 1.17. Линейное пространство С [ 0, 1] функций , непрерывных
на отрезке [0, 1] , является бесконечномерным. Для любого натурального n
система многочленов 1, х, х2, х3,..., хn, являющихся элементами этого ли-
нейного пространства, линейно независима. В самом деле, линейная ком-
бинация этих многочленов, отвечающая набору коэффициентов α0, α1, α2,
..., αn, является многочленом n-й степени α0 + α1х + α2х2 + ... + αn хn, кото-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
