Линейная алгебра. Курзина В.М. - 18 стр.

                                      ⎯ 17 ⎯

      Свойство 2. Если в n-мерном линейном пространстве задан базис e ,
то для любой невырожденной квадратной матрицы С порядка n существу-
ет такой базис f в этом линейном пространстве, что С будет матрицей пе-
рехода от базиса e к базису f .
       Из невырожденности матрицы С следует, что ее ранг равен n, а по-
этому ее столбцы будут линейно независимы. Эти столбцы являются
столбцами координат векторов системы f = e C. Линейная независимость
столбцов матрицы С равносильна линейной независимости системы векто-
ров f = ( f 1, ..., f n). Так как система f содержит n векторов, причем ли-
нейное пространство n-мерно, то эта система векторов является базисом.
       Пример 1.18. Пусть e = ( e 1, e 2, e 3) ⎯ базис линейного пространст-
ва L3. Тогда система векторов f 1 =2 e 1, f 2 =− e 2 , f 3 = e 3 является другим
базисом в этом линейном пространстве. Это утверждение следует из
равенства ( f 1, f 2, f 3) = ( e 1, e 2, e 3)С или f = e С, так как диагональная
матрица перехода
                                ⎛ 2 0 0⎞
                                ⎜            ⎟
                           С = ⎜ 0 −1 0⎟
                                ⎜ 0 0 1⎟
                                ⎝            ⎠
является невырожденной.
       Свойство 3. Если С ⎯ матрица перехода от старого базиса e к но-
вому базису f линейного пространства, то С -1 ⎯ матрица перехода от ба-
зиса f к базису e .
      Матрица С невырождена, и поэтому из равенства f = e C следует,
          -1                                   -1
что f С        = e , т. е. столбцы матрицы С        являются столбцами координат
                                                                              -1
векторов базиса e относительно базиса f . Это означает, что матрица С
⎯ матрица перехода от базиса f к базису e .
      Свойство 4. Если в линейном пространстве заданы базисы e , f , b ,
причем С ⎯ матрица перехода от базиса e к базису f , а В ⎯ матрица
перехода от базиса f к базису b , то произведение этих матриц СВ ⎯ мат-
рица перехода от базиса e к базису b .
      Согласно определению матрицы перехода, имеем равенства f = e C,
b = f В, откуда b = f В = ( e C)В = e (СВ ), т. е. СВ ⎯ матрица перехода от
базиса e к базису b .
      Пример 1.19. Пусть векторы нового базиса e выражаются через век-
торы старого базиса соотношениями