Линейная алгебра. Курзина В.М. - 20 стр.

                                    ⎯ 19 ⎯

Учитывая, что f = e C, получаем e u = ( e C )u′, или e u = e (Cu′). Последнее
равенство можно рассматривать как запись двух разложений одного и того
же вектора u в данном базисе e . Разложениям соответствуют столбцы ко-
ординат u и Cu′, которые в силу единственности разложения вектора по
базису, должны выражаться равенствами: u = Cu′, или u′ = C -1u.
      Итак, чтобы получить координаты вектора в старом базисе, необхо-
димо столбец координат этого вектора в новом базисе умножить слева на
матрицу перехода из старого базиса в новый.
      Пример 1.20. Рассмотрим в V2 базис e = ( i , j ) из ортогональных век-
торов единичной длины. Обозначим через f = ( f 1, f 2) новый базис, кото-
рый получается поворотом старого базиса на заданный угол ϕ. Исходя из
заданного угла поворота, мы можем найти координаты векторов f 1, f 2
нового базиса относительно старого
                                ⎛ cos ϕ ⎞         ⎛ − sin ϕ ⎞
                           e1= ⎜        ⎟ , e2 = ⎜          ⎟.
                                ⎝ sin ϕ ⎠         ⎝ cos ϕ ⎠
Эти разложения позволяют составить матрицу перехода
                               ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞
                           С= ⎜                 ⎟
                               ⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠
из старого базиса e в новый f , а также обратную ей матрицу
                                    ⎛ cos ϕ sin ϕ ⎞
                            С -1 = ⎜⎜               ⎟⎟ .
                                    ⎝ − sin ϕ cos ϕ ⎠
      Найденные матрицы перехода С (из старого базиса в новый ) и С-1
(из нового базиса в старый) позволяют записать соотношения между ста-
рыми u1, u2 и новыми u′1, u′2 координатами произвольного вектора u из V:
          u′1 = u1 cos ϕ + u2sinϕ,             u1 = u′1 cos ϕ − u′2sinϕ, (1.7)
          u′2 = - u1sinϕ + u2cos ϕ,            u2 = u′1sinϕ + u′2cos ϕ.  (1.8)
Например, вектор u = i + j в старом базисе имеет координаты u1 = 1, u2 = 1,
а в новом базисе ⎯ u′1 = cos ϕ + sinϕ, u′2 = − sinϕ + cos ϕ.


      1.5. Евклидово пространство

      В пространствах векторов V2 и V3 известна операция скалярного
умножения векторов, пользуясь которой можно было определять их длину
и угол между векторами, т. е. наглядно представить их размеры и взаимное
расположение на плоскости или в пространстве. В произвольном линейном
пространстве также можно определить аналогичное произведение векто-
ров, исходя из его свойств, установленных в геометрии.