Математика. Курзина В.М - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

116
4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
4.1. Неопределенный интеграл
Функция
)(
x
F называется первообразной для функции )(
x
f
, если
)()( xfxF
=
′
или
dx
x
f
x
dF )()(
=
.
Если )(
x
F − первообразная для функции )(
x
f
, то всё семейство пер-
вообразных для функции )(
x
f
задаётся выражением C
x
F +)(.
Неопределённым интегралом от функции )(
x
f
называется совокуп-
ность всех её первообразных. Обозначение для неопределённого интегра-
ла:
∫
+= .)()( CxFdxxf
Здесь
∫
− знак интеграла, )(
x
f
− подынтегральная функция, dx
x
f
)(
− подынтегральное выражение,
x
− переменная интегрирования.
Процесс поиска неопределённого интеграла от функции называется
интегрированием функции.
Таблица основных интегралов
1.
∫
+= .Cxdx 2.
∫
−≠+
+
=
+
.1при
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
3.
∫
+= .ln Cx
x
dx
4.
∫
+= .
ln
C
a
a
dxa
x
x
5.
∫
+= .sincos Cxxdx 6.
∫
+= .Cedxe
xx
7.
∫
+−= .cossin Cxxdx 8.
∫
+= .tg
cos
2
Cx
x
dx
9.
∫
+=
+
.arctg
1
22
C
a
x
axa
dx
10.
∫
+=
−
.arcsin
22
C
a
x
xa
dx
11.
∫
+
+
−
=
−
.ln
2
1
22
C
ax
ax
a
ax
dx
12.
∫
+++=
+
.ln
2
2
Caxx
ax
dx
                                                116

                       4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

                                   4.1. Неопределенный интеграл

     Функция F (x) называется первообразной для функции f ( x) , если
                                F ′( x) = f ( x)
     или
                              dF ( x) = f ( x)dx .

     Если F ( x) − первообразная для функции f ( x) , то всё семейство пер-
вообразных для функции f ( x) задаётся выражением F ( x) + C .
     Неопределённым интегралом от функции f ( x) называется совокуп-
ность всех её первообразных. Обозначение для неопределённого интегра-
ла:
                              ∫ f ( x)dx = F ( x) + C.
     Здесь         ∫    − знак интеграла, f (x) − подынтегральная функция, f ( x)dx
− подынтегральное выражение, x − переменная интегрирования.
     Процесс поиска неопределённого интеграла от функции называется
интегрированием функции.

                                   Таблица основных интегралов
                                                       n     x n+1
     1. ∫ dx = x + C.                            2. ∫ x dx =       + C при n ≠ −1.
                                                             n +1

         dx                                                     ax
     3. ∫ = ln x + C.                              4. ∫ a dx =   x
                                                                    + C.
          x                                                    ln a

                                                        ∫e
                                                             x
     5. ∫ cos xdx = sin x + C.                    6.             dx = e x + C.

                                                                 dx
     7. ∫ sin xdx = − cos x + C.                   8.   ∫ cos 2 x = tgx + C.

                   dx    1     x                                     dx               x
     9.   ∫a   2
                   +x 2
                        = arctg + C.
                         a     a
                                                  10.   ∫        a2 − x2
                                                                           = arcsin
                                                                                      a
                                                                                        + C.


                       dx       1    x−a                             dx
     11.   ∫ x2 − a2        =     ln
                                2a x + a
                                         + C.     12.   ∫                 = ln x + x 2 + a + C.
                                                                 x2 + a

Страницы