Математика. Курзина В.М - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

117
Правила интегрирования
1.
()
).()( xfdxxf =
′
∫
2.
(
)
.)()( dxxfdxxfd =
∫
3.
∫
+= .)()( CxFxdF
4.
∫∫
−= .постояннаягде,)()( adxxfadxxaf
5.
∫∫∫
+=+ .)()()]()([ dxxgdxxfdxxgxf
Пример 4.1. Найти неопределенный интеграл
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+−+−= dx
x
x
xxI
1
31
95sin7
2
2
.
Решение. Пользуясь правилом интегрирования 5, можно представить
этот интеграл как сумму интегралов слагаемых
∫∫∫∫∫
+
−+−+−= dx
x
x
dx
dxxdxdxxI
1
3
95sin7
2
2
.
Затем по правилу интегрирования 4 постоянные множители в сла-
гаемых вынести за знак интеграла.
∫∫∫∫∫
+
−+−+−=
1
395sin7
2
2
x
dx
x
dx
dxxdxdxxI .
И, наконец, с помощью таблицы интегралов можно найти интегралы сла-
гаемых
=+−++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+++= )arctg(3||ln
3
9)(5)(cos7
543
3
21
CxCxC
x
CxCxI
)3957(arctg3||ln35cos7
54321
3
CCCCCxxxxx −+−++−+−+= .
Сумма произвольных постоянных слагаемых в скобке является также
произвольным постоянным числом, значит, всю сумму можно обозначить
одной буквой
C
:
CCCCCC
=
−
+
−
+
54321
4325.
Таким образом, окончательный результат интегрирования запишется
в виде
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+−+−
∫
dx
x
x
xx
1
31
95sin7
2
2
Cxxxxx +−+−+ arctg3||ln35sin7
3
.
В дальнейшем при вычислении суммы интегралов в результате будем пи-
сать одну произвольную постоянную
C
. 
                                                   117

                                    Правила интегрирования
                       ′
       1. (∫ f ( x)dx ) = f ( x).
       2. d (∫ f ( x)dx ) = f ( x)dx.
       3. ∫ dF ( x) = F ( x) + C.
       4. ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx, где a − постоянная .
       5. ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx.

      Пример 4.1. Найти неопределенный интеграл
                               ⎛                         1      3 ⎞
                         I = ∫ ⎜ − 7 sin x + 5 − 9 x 2 + − 2       ⎟dx .
                               ⎝                         x x + 1⎠
      Решение. Пользуясь правилом интегрирования 5, можно представить
этот интеграл как сумму интегралов слагаемых
                                                             dx        3
                 I = ∫ − 7 sin x dx + ∫ 5dx − ∫ 9 x 2 dx + ∫ − ∫ 2         dx .
                                                              x      x +1
      Затем по правилу интегрирования 4 постоянные множители в сла-
гаемых вынести за знак интеграла.
                                                             dx         dx
                   I = −7 ∫ sin x dx + 5∫ dx − 9 ∫ x 2 dx + ∫ − 3∫ 2         .
                                                              x       x +1
И, наконец, с помощью таблицы интегралов можно найти интегралы сла-
гаемых
                                            ⎛ x3       ⎞
      I = 7(cos x + C1 ) + 5( x + C 2 ) − 9⎜⎜ + C3 ⎟⎟ + ln | x | +C 4 − 3(arctg x + C5 ) =
                                            ⎝ 3        ⎠
         = 7 cos x + 5 x − 3 x 3 + ln | x | −3arctg x + (7C1 + 5C 2 − 9C3 + C 4 − 3C5 ) .

     Сумма произвольных постоянных слагаемых в скобке является также
произвольным постоянным числом, значит, всю сумму можно обозначить
одной буквой C :
                      5C1 + 2C 2 − 3C3 + C 4 − 4C5 = C .

      Таким образом, окончательный результат интегрирования запишется
в виде

 ⎛                         1     3 ⎞
∫⎝
                       2                                   3
 ⎜ − 7 sin x + 5 − 9 x   +   − 2   ⎟dx = 7 sin x + 5 x − 3x + ln | x | −3arctg x + C .
                           x x + 1⎠

В дальнейшем при вычислении суммы интегралов в результате будем пи-
сать одну произвольную постоянную C .

Страницы