Математика. Курзина В.М - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

119
4.2. Замена переменной в неопределённом интеграле
Замена переменной в неопределённом интеграле производится с по-
мощью подстановок двух видов.
В первом виде подстановок аргумент подынтегральной функции за-
меняется функцией, а именно:
)(
t
x
Φ
=
,
где )(
t
Φ− монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой
переменной t. После замены получаем:
∫
∫
Φ
′
Φ= .)()]([)( dtttfdxxf
Во втором виде подстановок используют то, что подынтегральную
функцию можно записать как функцию новой переменной )(
x
u Ψ= . Тогда
получаем следующую формулу замены для интеграла
∫
=dxxf )(
∫
∫
=Ψ
′
Ψ .)()()]([ duufdxxxf
Если интеграл
∫
dxxf )( является табличным, то интеграл
∫
+ dxbaxf )( может быть найден заменой переменной
t
bax =+ . В резуль-
тате замены получается
,)(
1
)( CbaxF
a
dxbaxf ++=+
∫
где
F
− первообразная для функции
f
.
Пример 4.2. Найти интеграл
∫
dx
x
x
3
2
3
sin
.
Решение. Сделаем подстановку
3
xt = или
3
t
x
=
. Эта подстановка
приведет к тому, что аргументом синуса будет переменная интегрирова-
ния, а не корень из нее. Найдем дифференциал
d
t
t
dx
2
3
=
.
Отсюда получаем
Ctdttdt
t
tt
dx
x
x
+−===
∫∫∫
cos3sin3
sin3sin
2
2
32
3
. 
                                                           119

                 4.2. Замена переменной в неопределённом интеграле

     Замена переменной в неопределённом интеграле производится с по-
мощью подстановок двух видов.
     В первом виде подстановок аргумент подынтегральной функции за-
меняется функцией, а именно:
                                  x = Φ (t ) ,
где Φ (t ) − монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой
переменной t. После замены получаем:

                                       ∫ f ( x)dx = ∫ f [Φ(t )]Φ′(t )dt.
     Во втором виде подстановок используют то, что подынтегральную
функцию можно записать как функцию новой переменной u = Ψ (x) . Тогда
получаем следующую формулу замены для интеграла

                                ∫ f ( x)dx = ∫ f [Ψ ( x)]Ψ ′( x)dx = ∫ f (u)du.
      Если            интеграл        ∫ f ( x)dx       является табличным, то интеграл
∫ f (ax + b)dx
             может быть найден заменой переменной ax + b = t . В резуль-
тате замены получается
                                           1
                       ∫ f ( ax + b ) dx =
                                           a
                                             F (ax + b) + C ,


где F − первообразная для функции f .
      Пример 4.2. Найти интеграл
                                  sin 3 x
                                                   ∫   3
                                                           x   2
                                                                   dx .


      Решение. Сделаем подстановку t = 3 x или x = t 3 . Эта подстановка
приведет к тому, что аргументом синуса будет переменная интегрирова-
ния, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx = 3t 2 dt .
Отсюда получаем

                      sin 3 x          3t 2 sin t
                  ∫    3
                                dx = ∫
                                           t2
                                                  dt = 3∫ sin t dt = −3 cos t + C .
                           x2

Страницы