Математика. Курзина В.М - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

120
Ответ должен быть выражен через первоначальную, "старую" пере-
менную
x
. Подставляя в результат интегрирования
3
xt = , получим
Cxdx
x
x
+−=
∫
3
32
3
cos3
sin
.
Пример 4.3. Найти интеграл
∫
dxxe
x
2cos
2sin
.
Решение. Перейдем к новой переменной интегрирования z с помо-
щью подстановки
x
z 2sin= , тогда
x
z 2cos2
=
′
. Имеем
Cedzedxxe
zzx
+==
′
∫∫
2
1
2
1
)2(sin
2
1
2sin
.
Или, возвращаясь к переменной
x
, получаем
Cedxxe
xx
+=
∫
2sin2sin
2
1
2cos .
Упражнения
Вычислить интегралы:
1.
∫
+ x
dx
712
. 2.
∫
.8sin xdx 3.
∫
− 7cos2
sin
x
xdx
. 4.
∫
dx
x
xln5
.
5.
∫
+
+
dx
x
x
xx
sin2
cos
2
. 6.
∫
+
dx
x
x
5cos23
5sin
. 7.
∫
x
xdx
5
sin
cos
. 8.
∫
− x
dx
74
.
9.
∫
− .)79(
4
dxe
x
10.
∫
.tgxdx
11.
∫
+ .54 dxx
12.
∫
+
dx
e
e
x
x
17
4
2
.
13.
.
1
1
23
∫
+
++
dx
e
ee
x
xx
14.
∫
+ 2
4
4
3
x
dxx
. 15.
∫
+1
arctg
2
2
x
xdx
. 16.
∫
++ 23
2
xx
xdx
.
17.
∫
−
+
dx
x
xx
2
1
arcsin
. 18.
∫
x
dx
x
4
. 19.
∫
−
2
916 x
dx
. 20.
∫
.7ctg xdx
21.
∫
− .3cos3sin5 xdxx 22. dx
x
x
∫
+
2
1
arcctg
. 23.
dx
x
x
∫
+
3
3
)3(
. 24.
∫
x
dx
cos
.
25.
∫
+
.
1
8
3
dx
x
x
26.
∫
x
dx
3sin
. 27.
∫
+ dxxx
12
)14( . 28.
∫
.sin
cos
xdxe
x
                                                                         120

     Ответ должен быть выражен через первоначальную, "старую" пере-
менную x . Подставляя в результат интегрирования t = 3 x , получим

                                                 sin 3 x
                                             ∫    3       2
                                                               dx = −3 cos 3 x + C .
                                                      x

           Пример 4.3. Найти интеграл
                                                               sin 2 x
                                          cos 2 x dx .    ∫e
      Решение. Перейдем к новой переменной интегрирования z с помо-
щью подстановки z = sin 2 x , тогда z ′ = 2 cos 2 x . Имеем
                  1 sin 2 x               1            1
                    ∫ e     (sin 2 x)′dx = ∫ e z dz = e z + C .
                  2                       2            2
Или, возвращаясь к переменной x , получаем
                               sin 2 x           1 sin 2 x
                            ∫ e cos 2 x dx = 2 e + C .

                                                      Упражнения
       Вычислить интегралы:
       dx                                                                                 sin xdx                        5 ln x
1. ∫          .       2. ∫ sin 8 xdx.                                       3.       ∫ 2 cos x − 7 .          4.    ∫           dx .
     12 + 7 x                                                                                                               x

           x + cos x                             sin 5 x                                 cos xdx                           dx
5.    ∫x   2
             + 2 sin x
                       dx .           6.   ∫ 3 + 2 cos 5 x dx .                7.    ∫    sin 5 x
                                                                                                  .           8.   ∫      4 − 7x
                                                                                                                                 .


                                                                                                                e2x
9. ∫ (9 − 7e )dx.
                4x
                                  10. ∫ tgxdx.                           11.     ∫       4 x + 5dx.     12. ∫ 4 x   dx .
                                                                                                             e + 17

       e3x + e 2 x + 1                       4 x 3 dx                             arctg 2 xdx                      xdx
13.   ∫ e x + 1 dx.               14.      ∫ x4 + 2 .                    15.     ∫ x2 + 1 .             16. ∫              .
                                                                                                                x + 3x + 2
                                                                                                                    2




          arcsin x + x                  4 x dx                                            dx
17.   ∫                  dx .     18. ∫        .                         19. ∫                    .     20. ∫ ctg7 xdx.
              1 − x2                       x                                         16 − 9 x 2

                                                  arcctg x                                       x3                          dx
21. ∫ 5 − sin 3 x cos 3 xdx.               22.   ∫ 1 + x 2 dx .                       23.   ∫ (3 + x)3 dx .        24.    ∫ cos x .

           x3                             dx
25.   ∫ x 8 + 1 dx.             26.   ∫ sin 3x .               27. ∫ x(4 x + 1)12 dx .                  28. ∫ e cos x sin xdx.

Страницы