Математика. Курзина В.М - 16 стр.

                                   16

      5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон, т.е.
               ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C ; C ⋅ ( A + B ) = C ⋅ A + C ⋅ B.
      6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-
ведению их определителей, т. е., если C = A ⋅ B , то C = A ⋅ B .
      Элементарные преобразования над строками матрицы бывают двух
типов:
      1) к одной из строк матрицы прибавляется другая строка, предвари-
тельно умноженная на какое-то число, а все остальные строки переписы-
ваются без изменения;
      2) две строки матрицы меняются местами, при этом остальные стро-
ки остаются на своих местах.
      Элементарные преобразования над матрицей делают для того, чтобы
привести ее к ступенчатому виду, т. е. к такому, когда на главной диаго-
нали матрицы и в ячейках выше главной диагонали стоят ненулевые или
нулевые элементы, а в ячейках ниже главной диагонали матрицы только
нулевые элементы:
                                   ⎛ a b t ... s g ⎞
                                   ⎜                         ⎟
                                   ⎜ 0    c   p  ...  r  q   ⎟
                              A = 0 0 d ... w z ⎟ .
                                   ⎜
                                   ⎜                         ⎟
                                   ⎜ ... ... ... ... ... ... ⎟
                                   ⎜ 0 0 0 ... 0 0 ⎟
                                   ⎝                         ⎠
      Элементы матрицы, стоящие на главной диагонали и не равные ну-
лю, называются угловыми элементами. Остальные элементы могут быть
произвольные. Метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помо-
щью элементарных преобразований называют методом Гаусса.
      Теорема. Каждую прямоугольную матрицу с помощью элементар-
ных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду.
      Максимальное число линейно независимых строк матрицы А назы-
вается рангом матрицы А.
      Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее
строк. Число ненулевых угловых элементов в ступенчатой форме матрицы
равно рангу матрицы.
      Ранг матрицы может быть определен методом окаймляющих мино-
ров. Для этого в матрице находят ненулевой элемент. Затем, включая этот
элемент последовательно в окаймляющие миноры второго порядка, вы-
числяют их все до тех пор, пока не будет найден ненулевой определитель.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен
единице. Если найден минор второго порядка, не равный нулю, то на его
основе строят все возможные миноры третьего порядка для исследуемой
матрицы и вычисляют их определители. Если все миноры третьего порядка
равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если найден минор третьего по-