Математика. Курзина В.М - 17 стр.

                                    17

рядка, не равный нулю, то строят все возможные миноры четвертого по-
рядка. Вновь вычисляют их определители. Процесс продолжают до тех
пор, пока не настанет момент, что все окаймляющие миноры некоторого
порядка становятся равными нулю. На этом шаге процесс отыскания ранга
матрицы прекращается. Ранг матрицы равен наибольшему порядку не рав-
ных нулю окаймляющих ненулевой элемент миноров.
      Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется
такая матрица A −1 , произведение на которую матрицы А справа или слева
является единичной матрицей, т. е. AA −1 = E или A −1 A = E.
      Теорема. Для каждой неособенной квадратной матрицы существу-
ет обратная, и притом только одна. Для особенной квадратной матрицы
обратная матрица не существует.
      Обратная матрица для неособенной квадратной матрицы А вычисля-
ется по формуле
                                   1
                             A −1 = ⋅ A ,                        (1.3.1)
                                   A
где A ≠ 0 − определитель матрицы А, а A − матрица, присоединенная к
матрице А.
      Первый способ построения обратной матрицы заключается в приме-
нении формулы (1.3.1) и заключается в вычислении определителя заданной
матрицы и матрицы, присоединенной к данной.
      Второй способ построения обратной матрицы для неособенной квад-
ратной матрицы основан на применении элементарных преобразований
матрицы. Для его реализации применяют расширенную матрицу, состоя-
щую из заданной матрицы А и приписанной к ней справа единичной мат-
рицы такого же порядка. Сначала с помощью элементарных преобразова-
ний приводят расширенную матрицу к ступенчатому виду, начиная с не-
нулевого элемента a11 (всегда можем переставить строки в матрицы, что-
бы элемент a11 стал ненулевым), а затем, вновь с помощью элементарных
преобразований, приводят ступенчатую матрицу к диагональной, начиная
с элемента ann . В ходе преобразований слева получают единичную матри-
цу n × n , а справа − обратную матрицу A −1 .
      Пример 1.3.1.

      ⎛ 2 1 1 1 0 0⎞   ⎛ 2 1 1 1 0 0⎞
      ⎜              ⎟ ⎜              ⎟
      ⎜ 6 4 4 0 1 0⎟ ⇔ ⎜ 0 1 1 − 3 1 0⎟ ⇔
      ⎜ 8 12 9 0 0 1 ⎟ ⎜0 8 5 − 4 0 1⎟
      ⎝              ⎠ ⎝              ⎠