Математика. Курзина В.М - 19 стр.

                                          19

      Пример 1.3.2.          Базисы e = (e1 , e 2 ) и b = (b1 , b2 ) связаны соотноше-

      ⎧ e = b1 − 2b2
ниями ⎨ 1             . Запишите матрицу перехода U от базиса b к базису
       e
      ⎩ 2 = b1 + 2b 2

e , вычислите обратную ей матрицу U −1 (она является матрицей перехода
от базиса e к базису b ) и запишите соотношения, связывающие базисные
вектора (b1 , b2 ) с базисными векторами (e1 , e 2 ) .

      Решение. Поскольку e = b U, можно записать матрицу перехода U от
                                   ⎛ 1 1⎞
старого базиса b к новому e : U = ⎜⎜      ⎟⎟ , определитель которой ∆ = 4,
                                   ⎝ − 2 2⎠
                                                     ⎛ 2 2⎞
т. е. обратная матрица существует, и, поскольку U = ⎜⎜       ⎟⎟ , обратная
                                                     ⎝ − 1 1  ⎠

                    −1       1        ⎛ 0,5      0,5 ⎞                               −1
матрица равна U          =     ⋅ U = ⎜⎜               ⎟⎟ , следовательно,   b = eU
                             ∆        ⎝ − 0, 25 0, 25  ⎠
       ⎧b1 = 0,5e1 − 0,25e 2 ,
или    ⎨
       ⎩b2 = 0,5e1 + 0,25e 2 .
     Поскольку любой вектор x может быть разложен по любому базису
линейного пространства, для его координат имеют место равенства
                                 x = e Ae и x = f A f ,
где Ae − вектор-столбец координат вектора x в базисе e , а A f −вектор-
столбец координат вектора x в базисе f . Учитывая равенство (1.3.2), по-
лучаем x = e Ae = f A f = e CA f , откуда получаем формулы преобразования
координат вектора
                             Ae = CA f или A f = C −1 Ae .
      Пример 1.3.3. Пусть вектор x = (3,1) в базисе b = (b1 , b2 ) . Найдите

его координаты в базисе e = (e1 , e 2 ) , если базисы связаны системой урав-

      ⎧ e = b1 + b2
нений ⎨ 1             .
       e
      ⎩ 2 = b1 − 2b 2