Математика. Курзина В.М - 20 стр.

                                           20

      Решение. Матрицу перехода от базиса b к базису e обозначим U и
                      ⎛1 1 ⎞
согласно условию U = ⎜⎜      ⎟⎟ .
                      ⎝1 − 2 ⎠
      Координаты вектора в старом базисе связаны с его координатами в
                                                  ⎛x ⎞           ⎛ x′ ⎞
новом базисе следующим образом: х = Uх′, где х = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ и х′ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ −
                                                  ⎝ x2 ⎠         ⎝ x 2′ ⎠
столбцы координат вектора x в старом и новом базисах соответственно.
Нам заданы координаты вектора в новом базисе e , то есть справедливо
равенство
                          ⎛ x ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ x1′ ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞
                     х = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜       ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜       ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
                            x
                          ⎝ 2⎠ ⎝      1 − 2      x ′
                                             ⎠⎝ 2⎠ ⎝      1 − 2  ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠

      Пример1.3.4.      Пусть вектор x = (2,3) в базисе b = (b1 , b2 ) . Найдите

                                              ⎧ b = 2e1 − e 2
его координаты в базисе e = (e1 , e2 ) , если ⎨ 1              .
                                               b
                                              ⎩ 2 = e1 − 2 e 2

                                     ⎛ 2    1 ⎞
      Решение. Матрица перехода U = ⎜⎜        ⎟⎟ , и аналогично предыду-
                                     ⎝ − 1 − 2⎠
щей задаче находим координаты вектора в старом базисе через его коор-
динаты в новом базисе:
                                    ⎛x ⎞ ⎛ 2      1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 7 ⎞
                               x = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜      ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
                                    ⎝ x2 ⎠ ⎝ − 1 − 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ − 8⎠

                                          Упражнения

      1. Найти A + B , если
              ⎛1 − 3 4           0⎞             ⎛2 4 − 3 1 ⎞
      а) A = ⎜⎜                     ⎟,     B = ⎜⎜             ⎟⎟ ;
              ⎝ 2 −1 3           5 ⎟⎠           ⎝ 3 2 − 4 − 5  ⎠

                 ⎛ − 5 2 7 − 3⎞         ⎛ 11 − 14 5 8 ⎞
      б)    A = ⎜⎜            ⎟⎟ , B = ⎜⎜               ⎟⎟ ;
                 ⎝  5  4 9 10  ⎠        ⎝ 12 − 10 15 10  ⎠