Математика. Курзина В.М - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

174
зывается
бесконечным числовым рядом, а числа ,...,...,,
21 n
uuu − членами
ряда;
)(nfu
n
= − общим членом. Ряд часто записывают в виде
∑
∞
=
1n
n
u .
Сумму первых n членов числового ряда обозначают
n
S
и называют
n-й
частичной суммой ряда:
....
21 nn
uuuS
+
+
+
=
Ряд называется
сходящимся, если его n-я частичная сумма при неог-
раниченном возрастании n стремится к конечному пределу S. Число S на-
зывают
суммой ряда. Если у ряда нет суммы, его называют расходящим-
ся
.
Пример 6.1. Ряд
),1(......
12
<+++++
−
qaqaqaqa
n
составленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, является сходящимся и имеет сумму
.
1 q
a
−
Пример 6.2. Ряд
...,
1
...
3
1
2
1
1 +++++
n
называемый
гармоническим, расходится.
Свойства сходящихся рядов
1. Ряд, получаемый из сходящегося ряда отбрасыванием конечного
числа первых членов, сходится.
2. Ряд, полученный из сходящегося умножением всех его членов на
одно и то же число, сходится и его сумма равна сумме исходного ряда,
умноженной на то же число.
3. Если сходятся ряды
......
21
+
+
+
+
n
uuu и ......
21
+
+++
n
vvv ,
имеющие соответственно суммы
S
и Q , то сходится и ряд
...,)(...)()(
2211
+
+
+
+
+
+
+
nn
vuvuvu
причём сумма последнего равна .Q
S
+
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд ......
21
+
++
+
n
uuu сходится, то .0lim
=
∞→
n
n
u
Достаточные признаки сходимости и расходимости рядов
с положительными членами
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда ......
21
+
+++
n
uuu
и ......
21
+
+++
n
vvv , причём каждый член первого ряда не превосходит 
                                                174

зывается бесконечным числовым рядом, а числа u1 , u 2 ,..., u n ,... − членами
                                                                               ∞
ряда; u n = f (n) − общим членом. Ряд часто записывают в виде                  ∑u
                                                                               n =1
                                                                                      n   .

      Сумму первых n членов числового ряда обозначают S n и называют
n-й частичной суммой ряда:
                               S n = u1 + u 2 + ... + u n .
      Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма при неог-
раниченном возрастании n стремится к конечному пределу S. Число S на-
зывают суммой ряда. Если у ряда нет суммы, его называют расходящим-
ся.
      Пример 6.1. Ряд
                      a + aq + aq 2 + ... + aq n−1 + ... ( q < 1),

составленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической
                                                  a
прогрессии, является сходящимся и имеет сумму         .
                                                 1− q
           Пример 6.2. Ряд
                               1 1        1
                            1 + + + ... + + ...,
                               2 3        n

называемый гармоническим, расходится.
                     Свойства сходящихся рядов
     1. Ряд, получаемый из сходящегося ряда отбрасыванием конечного
числа первых членов, сходится.
     2. Ряд, полученный из сходящегося умножением всех его членов на
одно и то же число, сходится и его сумма равна сумме исходного ряда,
умноженной на то же число.
     3. Если сходятся ряды u1 + u 2 + ... + u n + ... и v1 + v2 + ... + vn + ... ,
имеющие соответственно суммы S и Q , то сходится и ряд

                         (u1 + v1 ) + (u 2 + v2 ) + ... + (u n + vn ) + ...,

причём сумма последнего равна S + Q.
               Необходимый признак сходимости ряда
     Если ряд u1 + u 2 + ... + u n + ... сходится, то lim u n = 0.
                                                            n →∞
       Достаточные признаки сходимости и расходимости рядов
                             с положительными членами
      Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда u1 + u 2 + ... + u n + ...
и v1 + v2 + ... + vn + ... , причём каждый член первого ряда не превосходит

Страницы