Математика. Курзина В.М - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

176
то ряд сходится и его сумма равна 0,5.
Пример 6.4. Исследовать сходимость ряда
...
324
1
...
29
1
15
1
5
1
+
−⋅
++++
n
.
Решение. Данный ряд сравним с рядом, у которого общий член
n
n
v
2
1
= , т.е. он является бесконечно убывающей прогрессией и сходится к
сумме 1. Применим второй признак сравнения рядов:
.
4
1
2/34
1
lim
324
2
limlim =
−
=
−⋅
=
∞→∞→∞→
n
n
n
n
n
n
n
n
v
u
Так как предел конечен и отличен от нуля, то сходится и данный ряд.
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница)
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его
членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю.
Пример 6.5. Исследовать на сходимость ряд:
....
1
)1(...
17
4
10
3
5
2
2
1
2
+
+
−++−+−
n
n
n
Решение. Проверим признак Лейбница. Так как
0
1
lim
2
=
+
∞→
n
n
n
, при-
чём
...
1
)1(...
17
4
10
3
5
2
2
1
2
>
+
−>>>>>
n
n
n
,
то данный ряд сходится.
Упражнения
Найти суммы рядов:
1.
...
)1(
1
...
43
1
32
1
21
1
+
+
++
⋅
+
⋅
+
⋅ nn
. 2. .
)1(
12
1
22
∑
∞
=
+
+
n
nn
n
3.
...
)32)(12)(12(
1
...
975
1
753
1
531
1
+
++−
++
⋅⋅
+
⋅⋅
+
⋅⋅ nnn
. 
                                                 176


то ряд сходится и его сумма равна 0,5.
      Пример 6.4. Исследовать сходимость ряда

                                 1 1  1               1
                                  + +    + ... +            + ... .
                                 5 15 29         4 ⋅ 2n − 3

      Решение. Данный ряд сравним с рядом, у которого общий член
     1
vn = n , т.е. он является бесконечно убывающей прогрессией и сходится к
    2
сумме 1. Применим второй признак сравнения рядов:

                                 un           2n               1        1
                            lim = lim               = lim              = .
                            n →∞ v   n →∞ 4 ⋅ 2 − 3
                                               n      n →∞ 4 − 3 / 2 n
                                                                        4
                                   n


         Так как предел конечен и отличен от нуля, то сходится и данный ряд.

  Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница)
     Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его
членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю.
        Пример 6.5. Исследовать на сходимость ряд:
                      1 2 3        4             n
                        − + − + ... + (−1) n 2      + ... .
                      2 5 10 17                n +1
                                                            n
      Решение. Проверим признак Лейбница. Так как lim 2         = 0 , при-
                                                     n →∞ n + 1

чём
       1 2 3      4              n
        > > > > ... > (−1) n 2       > ... ,
       2 5 10 17               n +1

то данный ряд сходится.


                                           Упражнения
       Найти суммы рядов:
    1     1     1              1                                             ∞
                                                                                     2n + 1
1.     +     +
   1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
                    + ... +
                            n(n + 1)
                                     + ... .                         2.   ∑n n =1
                                                                                    2
                                                                                      (n + 1) 2
                                                                                                .


        1         1         1                        1
3.           +         +          + ... +                          + ... .
     1⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 ⋅ 7 5 ⋅ 7 ⋅ 9         (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)

Страницы