Математика. Курзина В.М - 175 стр.

                                                        175

соответствующего члена второго ряда, т.е. u n ≤ vn , n = 1,2,... Тогда если
               ∞                                         ∞                                 ∞
сходится ряд   ∑v
               n =1
                      n   , то сходится и ряд           ∑u
                                                        n =1
                                                               n   ; если расходится ряд   ∑u
                                                                                           n =1
                                                                                                  n   , то
                          ∞
расходится и ряд      ∑v
                      n =1
                               n   .

      Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный
                                        ∞         ∞
                    u
от нуля предел lim n = k , то оба ряда ∑ u n и ∑ vn одновременно сходятся
               n →∞ v
                      n                n =1      n =1

или одновременно расходятся.
      Признак Коши. Если для ряда u1 + u 2 + ... + u n + ... существует

                                               lim n u n = C ,
                                               n →∞


то этот ряд сходится при C < 1 и расходится при C > 1.
      Признак Даламбера. Если для ряда u1 + u 2 + ... + u n + ... существует

                                       u n+1
                                             = C, lim
                                   n →∞ u
                                          n
то этот ряд сходится при C < 1 и расходится при C > 1.
      Пример 6.3. Найти сумму ряда

                               1    1     1                   1
                                  +     +      + ... +                  + ...
                              1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7         (2n − 1)(2n + 1)

     Решение. Общий член ряда можно представить в следующем виде:
                              1⎛ 1         1 ⎞
                          un = ⎜        −       ⎟,
                              2 ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠
следовательно,

            1⎛ 1⎞ 1⎛1 1⎞ 1⎛1 1⎞            1⎛ 1         1 ⎞
       S n = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜        −       ⎟=
            2⎝ 3⎠ 2⎝ 3 5⎠ 2⎝ 5 7 ⎠         2 ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠


        1⎛ 1 1 1 1 1            1       1 ⎞ 1⎛        1 ⎞
       = ⎜1 − + − + − + ... +       −        ⎟ = ⎜1 −     ⎟.
        2⎝ 3 3 5 5 7          2n − 1 2 n + 1 ⎠ 2 ⎝ 2n + 1 ⎠

Так как
                                                1      ⎛    1 ⎞ 1
                                       lim S n = lim⎜1 −         ⎟= ,
                                       n →∞     2 n →∞ ⎝ 2 n + 1 ⎠ 2