Математика. Курзина В.М - 179 стр.

                                                179

      Функциональный ряд вида

                    a0 + a1 ( x − c) + a2 ( x − c) 2 + ... + an ( x − c) n + ...,

где a0 , a1 , a2 ,..., an ,... − действительные числа, называется степенным.

          Основное свойство степенных рядов(теорема Абеля)

     Если степенной ряд сходится при x = x0 , то он сходится (и притом
абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству

                                     x − c < x0 − c .

      Из теоремы Абеля следует, что для всякого степенного ряда сущест-
вует интервал сходимости x − c < R , или c − R < x < R + c с центром в
точке с, внутри которого ряд сходится и вне которого ряд расходится.
      Число R − половина длины интервала сходимости − называется ра-
диусом сходимости ряда. В частных случаях радиус сходимости может
быть равен нулю или бесконечности.
      Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда ис-
пользуют один из следующих способов.
      1. Если все коэффициенты ряда a0 , a1 , a2 ,..., an ,... не равны нулю, то

                                                     an
                                          R = lim          .
                                               n →∞ a
                                                      n +1


      2. Если исходный ряд имеет вид

                  a0 + a1 ( x − c) p + a2 ( x − c) 2 p + ... + an ( x − c) np + ...,

где p− некоторое определённое целое положительной число, то

                                                       an
                                         R = p lim           .
                                                 n →∞ a
                                                        n +1



     3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю, то радиус схо-
димости можно находить по формуле