Математика. Курзина В.М - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

180
n
n
n
a
R
∞→
=
lim
1
.
4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя
непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составлен-
ному из абсолютных величин членов исходного ряда.
Пример 6.6. Исследовать сходимость ряда
∑
∞
=
+
−
1
)1(
)1(
n
n
nn
n
x
.
Решение. Применяем признак Коши:
⎩
⎨
⎧
>−∞
≤−
=
−
⇒
−
=
−
+
∞→
+
+
.11,
,11,0
1
lim
1
)1(
11
)1(
x
x
n
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
nn
Таким образом, ряд сходится, если
,11
≤
−
x т.е. в промежутке
.20 ≤≤
x
Степенные ряды, полученные почленным дифференцированием или
интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости
и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно произ-
водной и интегралу от суммы первоначального ряда.
Пример 6.7. Найти сумму ряда
Решение. Дифференцируя почленно заданный ряд, получим ряд
...1
32
+
+
+
+
x
x
x
,
который можно считать при заданных ограничениях на переменную х, бес-
конечно убывающей геометрической прогрессией, поэтому его сумма рав-
на
.
1
1
x
S
−
=
Интегрируя в пределах от 0 до х, получаем сумму исходного ряда
.1,
1
<
∑
∞
=n
n
x
n
x
                                                       180

                                                             1
                                                R=                   .
                                                      lim n an
                                                      n →∞


     4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя
непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составлен-
ному из абсолютных величин членов исходного ряда.
     Пример 6.6. Исследовать сходимость ряда

                                                ∞
                                                    ( x − 1) n ( n+1)
                                               ∑
                                               n =1      nn
                                                                      .


     Решение. Применяем признак Коши:
                                    n +1                  n +1
         ( x − 1) n ( n+1)   x −1                 x −1            ⎧ 0, x − 1 ≤ 1,
     n                     =               ⇒ lim                 =⎨
               nn               n            n →∞    n            ⎩∞, x − 1 > 1.

      Таким образом, ряд сходится, если x − 1 ≤ 1, т.е. в промежутке
0 ≤ x ≤ 2.
      Степенные ряды, полученные почленным дифференцированием или
интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости
и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно произ-
водной и интегралу от суммы первоначального ряда.
      Пример 6.7. Найти сумму ряда

                                                 ∞
                                                     xn
                                                ∑
                                                n =1 n
                                                        , x < 1.


     Решение. Дифференцируя почленно заданный ряд, получим ряд

                             1 + x + x 2 + x 3 + ... ,
который можно считать при заданных ограничениях на переменную х, бес-
конечно убывающей геометрической прогрессией, поэтому его сумма рав-
на
                                     1
                               S=        .
                                   1− x

     Интегрируя в пределах от 0 до х, получаем сумму исходного ряда

Страницы