Математика. Курзина В.М - 183 стр.

                                                   183

          7. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

     Далее рассмотрим экономико-математические модели, в которых
применяются дифференциальные уравнения.

                   7.1. Модель естественного роста выпуска

      Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксирован-
ной цене Р. Пусть Q( t ) − количество продукции, реализованной на мо-
мент времени t ; тогда доход от реализации этой продукции составит ве-
личину PQ( t ) . Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции
в производство реализуемой продукции, то есть

                       I ( t ) = mPQ( t ),                                    (7.1.1)

где m − норма инвестиции, 0 < m < 1.
      Если предположить, что рынок в момент рассмотрения задачи не на-
сыщен этим товаром, то есть производимая продукция реализуется полно-
стью, то в результате расширения производства будет получен прирост до-
хода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска
(акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению
инвестиций. Таким образом, при норме акселерации, равной 1 / l , скорость
выпуска продукции составит величину

                                             Q ′ = lI .                       (7.1.2)

Из равенств (7.1.1) и (7.1.2) получаем, что

                                                       Q ′ = kQ ,
где k = lmP .
      Решая полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, получаем его общее решение, а именно, зависимость коли-
чества реализованной продукции от времени

                                                       Q = Ce kt .

      Если в начальный момент t 0 производство продукции составляло
                           k t0
величину Q0 , то Q0 = Ce             и

                                  Q = Q0 e − k t 0 e kt = Q0 e k (t −t0 ) .   (7.1.3)