Математика. Курзина В.М - 185 стр.

                                            185

и предложения
                      S ( t ) = 4 P ′′ + P ′ + 3P + 3.

      Спрос "подогревается" темпом изменения цены: если P ′′ > 0 , темп
растет, рынок увеличивает интерес к товару. Быстрый рост цены отпугива-
ет покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены
входит со знаком минус.
      Для равновесного рынка справедливо равенство спроса и предложе-
ния:
                                    D=S,
то есть для заданных выше функций спроса и предложения выполняется
равенство
                            P ′′ + 2 P ′ + 5P = 15.

     Таким образом, получили линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами для определения зави-
симости цены от времени. Заданные начальные условия t = 0; P = 4; P ′ = 1
определяют единственное решение этого уравнения:

                                P (t ) = e −t (cos 2t + sin 2t ) + 3.

      Полученная функция определяет изменение цены на рынке с течени-
ем времени для заданных функций спроса и предложения.

                                     Упражнения

       Для изучения процессов, происходящих на рынке, используется мо-
дель рынка с прогнозируемыми ценами. В таблице заданы функции спроса
D(t ) и предложения S (t ) зависимостями от величины цены Р на товар,
реализуемый на рынке, и первой и второй производных от функции цены
по времени. Также поставлены начальные условия для решения заданной
задачи, т.е. приведены значения цены и ее первой производной в началь-
ный момент времени, обозначенный t = 0 .
       В ходе решения следует определить функцию P(t ) изменения цены
от времени для заданных начальных условий продажи товара на рынке.
                                                               Таблица 7.2.1
Номер
задачи                   D(t )                    S (t )      P ( 0) P′(0)
    1.     4 P ′′ − 5 P ′ − 7 P + 21 3P ′′ − 7 P ′ − 8P + 18    2     0,5
    2.     7 P ′′ + 11P ′ + 3P + 3   3P ′′ + 7 P ′ + 2 P − 10   4      1
    3.     2 P ′′ + 2 P ′ + 7 P + 3  P ′′ − 2 P ′ + 4 P + 5     1     0,3
    4.     3P ′′ + 3P ′ + 8 P − 5    2 P ′′ − P ′ + 5 P + 7     3     1,5