Математика. Курзина В.М - 190 стр.

                                            190

     Подставляя в это уравнение линейные зависимости спроса и пред-
ложения от цены, получаем линейное неоднородное дифференциальное
уравнение с начальным условием:

                       dP
                          = −γ ((b + β ) P − a + α ),
                       dt
                                                                  (7.4.1)
                       P(0) = P0 ,
где P0 − начальная цена.
      Это уравнение имеет стационарную точку
                        P∗ = (a − α ) /(b + β ) > 0 .
                  dP
      Видно, что      > 0 , т. е. цена растет при значениях P < P ∗ и, наобо-
                   dt
     dP
рот,    < 0 (цена товара убывает) при значениях P > P ∗ .
     dt
      Отсюда можно сделать заключение, что цена товара при своих коле-
баниях будет стремиться к цене P ∗ при стремлении времени к бесконеч-
ности. Сама цена P ∗ называется равновесной ценой, поскольку при ней
равны спрос и предложение.
      Действительно, если
                                      D( P) = S ( P) ,
то выполняется равенство
                                    a − bP = α + β P ,
откуда получаем значение
                                P ∗ = (a − α ) /(b + β ).

       Равновесная цена может быть найдена также графически. Она опре-
деляется координатой по оси ОР точки пересечения прямых спроса
D( P ) = a − bP и предложения S ( P ) = α + β P (рис. 7.2).
       Решаем полученное дифференциальное уравнение. Его решение
можно получить либо методом вариации постоянной, либо с помощью за-
мены искомой функции двумя функциями специального вида.
       Воспользуемся для решения этого дифференциального уравнения
вторым методом, а именно, представим искомую функцию как произведе-
ние двух других функций:

                               P(t ) = U (t ) ⋅ Z (t ),

тогда производная искомой функции равна