Математика. Курзина В.М - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

192
Теперь будем искать такие функции )(
t
U
и )(
t
Z
, чтобы они явля-
лись решениями уравнений: однородного линейного − функция )(
t
U
; и
неоднородного − функция )(
t
Z
. А именно:
;0)( =++ Ub
d
t
dU
βγ
(7.4.4)
.)0()0(
),(
0
PZU
aU
dt
dZ
=
−=
αγ
(7.4.5)
Решение уравнения (7.4.4) находится методом разделения перемен-
ных, это решение − функция
tb
etU
)(
)(
βγ
+−
= . Подставляя ее в уравнение
(7.4.3), получаем уравнение относительно только одной функции )(
t
Z
:
.)0(
),(
0
)(
PZ
ae
dt
dZ
tb
=
−=
+−
αγ
βγ
Решая полученное уравнение с заданными начальными условиями
методом разделения переменных и учитывая начальные условия и приня-
тые ранее обозначения, получаем функцию
=)(
t
Z
tb
ePPP
)(
0
β
γ
+
∗
∗
+− .
Таким образом, решением исходного уравнения является функция
⋅
= )()()(
t
Z
t
U
t
P
⋅
+
−
tb
e
)(
β
γ
(
)
tb
ePPP
)(
0
β
γ
+
∗
∗
+−
=
=
).1(
)()(
0
tbtb
ePeP
β
γ
β
γ
+
−
∗
+−
−+
Из найденного решения также видно, что
.)(lim
∗
∞→
= PtP
t
                                                 192


       Теперь будем искать такие функции U (t ) и Z (t ) , чтобы они явля-
лись решениями уравнений: однородного линейного − функция U (t ) ; и
неоднородного − функция Z (t ) . А именно:

                       dU
                           + γ (b + β )U = 0;                                             (7.4.4)
                        dt

                       dZ
                          U = γ (a − α ),
                       dt
                                                                                          (7.4.5)
                      U (0) Z (0) = P0 .

        Решение уравнения (7.4.4) находится методом разделения перемен-
ных, это решение − функция U (t ) = e −γ (b + β ) t . Подставляя ее в уравнение
(7.4.3), получаем уравнение относительно только одной функции Z (t ) :

                     dZ − γ (b + β ) t
                        e              = γ (a − α ),
                     dt

                     Z (0) = P0 .

       Решая полученное уравнение с заданными начальными условиями
методом разделения переменных и учитывая начальные условия и приня-
тые ранее обозначения, получаем функцию

                      Z (t ) = P0 − P ∗ + P ∗eγ (b + β ) t .

      Таким образом, решением исходного уравнения является функция

                                                             (                        )
                   P(t ) = U (t ) ⋅ Z (t ) = e −γ (b+ β )t ⋅ P0 − P ∗ + P ∗eγ (b + β ) t =

                  = P0 e −γ (b + β ) t + P ∗ (1 − e −γ (b + β ) t ).

Из найденного решения также видно, что

                                      lim P(t ) = P ∗ .
                                      t →∞

Страницы