Математика. Курзина В.М - 196 стр.

                                               196

     Найдем теперь производную от функции k по времени t :

            dk d ( K / L) K ′L − KL′ K ′     L′ ρY − µK   ν
               =         =      2
                                    =    − K  2
                                                =       −K =
            dt     dt         L       L      L     L      L

           = ρ ⋅ y − (µ + ν ) ⋅ k.


     После подстановки введенных функций, окончательно получаем

            dk
               = ρ ⋅ f ( k ) − ( µ + ν ) k , k ( 0) = k 0 = K 0 / L 0 .   (7.5.1)
            dt

     Поведение макропоказателей модели Солоу целиком определяется
уравнением (7.5.1) и динамикой трудовых ресурсов L = L0 e ν t .

                   Стационарные траектории в модели Солоу

     Рассмотрим стационарную траекторию, т. е. такую линию, на кото-
рой функция фондовооруженности k постоянна и равна, следовательно,
своему начальному значению:
                           k (t ) = const = k1 .
Поскольку таким постоянным значением может быть, вообще говоря, не
всякое начальное значение, обозначим его k1 . Такое значение фондово-
оруженности называется стационарным, и на стационарной траектории
справедливо равенство
                                   dk
                                      = 0.
                                   dt

Согласно уравнению (7.5.1), если траектория стационарная, то

                           ρf (k ) − ( µ + ν )k = 0,                      (7.5.2)

то есть k1 является решением этого уравнения.
      Докажем, что это уравнение имеет решение.
      Так как f (k ) = F (k , 1), то это возрастающая функция, но ее произ-
водная стремится к нулю при стремлении k к бесконечности, так как это
производственная функция. Другими словами, темп ее роста замедляется.
Величина (µ + ν)k возрастает с постоянным темпом. Значит, если вы-
полняется неравенство