Математика. Курзина В.М - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

198
где )(
t
u − новая функция и найдем решение уравнения. Поскольку
),()(
)()(
tuee
d
t
du
d
t
dk
tt
νµνµ
νµ
+−+−
+−= (7.5.5)
то после подстановки в (7.5.3) выражений (7.5.4) и (7.5.5) получаем
=+−
+−+−
uee
dt
du
tt )()(
)(
νµνµ
νµ
,)(
)()( tt
ueeAu
ν
µ
ν
µ
α
α
νµρ
+−
+
−
+−
0
)0( ku =
Преобразуя, получаем уравнение относительно функции )(
t
u :
=
d
t
du
.)0(,
0
))(1(
kueAu
t
=
+−
νµαα
ρ
Это уравнение с разделяющимися переменными, находим его решение:
=
α
u
du
;
))(1(
dtAe
t
νµα
ρ
+−
Ce
A
u
t
+
+−
=
−
+−− ))(1(1
))(1(1
1
νµαα
νµα
ρ
α
,
отсюда, после подстановки значения 0
=
t
, определяем значение
α
νµρ
α
−
+−
=
−
1
)/(
1
0
Ak
C .
Следовательно, после подстановки
и преобразования получаем
.]1[
1
0
))(1(1
ανµαα
νµ
ρ
−+−−
+−
+
= ke
A
u
t
Окончательно
[
]
.1)(
)1(
1
))(1(1
0
α
νµαα
νµ
ρ
−
+−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+=
t
e
A
ktu 
                                                     198


где u (t ) − новая функция и найдем решение уравнения. Поскольку

                       dk du − ( µ +ν )t
                         =   e           − ( µ + ν )e − ( µ +ν )t u (t ),                                  (7.5.5)
                       dt dt

то после подстановки в (7.5.3) выражений (7.5.4) и (7.5.5) получаем

      du − ( µ +ν )t
         e           − ( µ + ν )e − ( µ +ν )t u = ρAu α e −α ( µ +ν )t − ( µ + ν )ue −( µ +ν )t ,
      dt

      u (0) = k 0

Преобразуя, получаем уравнение относительно функции u (t ) :

                                    du
                                       = ρAu α e (1−α )( µ +ν )t , u (0) = k 0 .
                                    dt

Это уравнение с разделяющимися переменными, находим его решение:

                              du
                                α
                                  = ρAe (1−α )( µ +ν )t dt ;
                              u

                               1 1−α            A
                                  u  =ρ                   e (1−α )( µ +ν )t + C ,
                              1−α       (1 − α )( µ + ν )

отсюда, после подстановки значения t = 0 , определяем значение

                                  k 01−α − ρ A /( µ + ν )
                               C=                         .
                                          1−α

Следовательно, после подстановки C и преобразования получаем

                                              A
                               u 1−α = ρ         [e (1−α )( µ +ν )t − 1] + k 01−α .
                                            µ +ν
Окончательно

                                         ⎛
                                                               [                 ⎞
                                                                                      ]
                                                                                          1
                                                        A
                                u (t ) = ⎜ k 01−α + ρ      e (1−α )( µ +ν )t − 1 ⎟            (1−α )
                                                                                                       .
                                         ⎝            µ +ν                       ⎠

Страницы