Математика. Курзина В.М - 199 стр.

                                                         199


Отсюда

                                     ⎛
                                                          [                   ⎞
                                                                                              ]
                                                                                                          1
                                                    A
      k (t ) = u (t )e −( µ +ν )t = ⎜⎜ k 01−α + ρ      e (1−α )( µ +ν )t − 1 ⎟⎟                               (1−α )
                                                                                                                       ⋅ e −( µ +ν )t .
                                     ⎝            µ +ν                        ⎠

    Из этого выражения видно, что при стремлении t к бесконечности
величина k (t ) стремится к величине

                                                               1
                                                ⎛ ρA      ⎞        (1−α )
                                                ⎜⎜        ⎟⎟                .
                                                 ⎝ µ +ν    ⎠

    Таким образом, стационарное значение фондовооруженнности для
функции Кобба − Дугласа равно
                                                                                     1
                                                     0  ⎛ ρA                    ⎞        (1−α )
                                                   k = ⎜⎜                       ⎟⎟                .
                                                        ⎝ µ +ν                   ⎠

     Следовательно, при любом начальном k 0 значении фондовооружен-
ность k (t ) сходится к стационарному значению k 0 .
     Поскольку y (t ) = Ak α , то производительность труда сходится к ста-
ционарному значению
                                                                      α
                                            0  ⎡ ρA ⎤                     (1− α )
                                          y = A⎢      ⎥                                  .
                                               ⎣µ + ν ⎦

      Поэтому и удельное потребление (на одного работающего) сходится
к стационарному значению
                                                                                                      α
                        C (t )                                   ⎡ ρA ⎤                                   (1−α )
                  lim          = lim (1 − ρ ) y (t ) = (1 − ρ ) A⎢      ⎥                                          .
                  t → ∞ L (t )   t →∞
                                                                 ⎣ µ +ν ⎦

      При исследовании модели разумно принять в качестве критерия ус-
пешности развития экономики величину удельного потребления. Найдем,
при каком значении нормы накопления ρ предельное удельное потребле-
ние, равное, как оказалось, удельному потреблению в стационарном режи-
ме, максимально. Для этого продифференцируем полученную выше вели-
чину удельного потребления по переменной ρ и определим критические
точки функции удельного потребления, для чего приравняем найденную
производную нулю: