Математика. Курзина В.М - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

197
)()0(
ν
µ
ρ
+
>
′
f ,
то уравнение (7.5.2) имеет единственное решение
1
k при 0>
k
.
Найдем величины
L
,
K
,
,
C
,
Y
на стационарной траектории.
Поскольку
t
eLtL
ν
0
)( = , а коэффициент
L
K
k
/
=
, то получаем
t
eLktLktK
ν
011
)()( == .
Аналогично находим
.)()()()(
011
t
eLkftLkftY
ν
==
Затем
,)()1()()1()(
01
t
eLkfTYtC
ν
ρρ
−=−=
t
eLkftI
ν
ρ
0
0
)()( = .
Объединяя полученные соотношения для
L
,
K
,
,
C
,
Y
на стацио-
нарной траектории, получаем систему равенств
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
=
=
=
.)()(
;)()1()(
;)()(
;)(
;)(
01
01
01
01
0
t
t
t
t
t
eLkftI
eLkftC
eLkftY
eLktK
eLtL
ν
ν
ν
ν
ν
ρ
ρ
Таким образом, на стационарной траектории все основные макропо-
казатели растут экспоненциально, пропорционально трудовым ресурсам.
Рассмотренный общий случай поясним на примере производствен-
ной функции Кобба − Дугласа
αα
−
=
1
),( LAKLKF , .10,0 <<>
α
A
Поскольку при этом
,)1,()(
α
AkkFkf
=
=
то уравнение (7.51) прини-
мает вид:
.)0(,)(
0
kkkAk
d
t
dk
=+−=
νµρ
α
(7.5.3)
Сделаем замену переменной
t
etutk
)(
)()(
νµ
+−
= , (7.5.4) 
                                                       197

                                                   ρf ′(0) > ( µ + ν ) ,

то уравнение (7.5.2) имеет единственное решение k1 при k > 0 .
      Найдем величины L , K , I , C , Y на стационарной траектории.
Поскольку L(t ) = L0 e ν t , а коэффициент k = K / L , то получаем

                                        K (t ) = k1 L(t ) = k1 L0 eν t .

      Аналогично находим

                               Y (t ) = f (k1 ) L(t ) = f (k1 ) L0 eν t .
      Затем
                           C (t ) = (1 − ρ )Y (T ) = (1 − ρ ) f (k1 ) L0 eν t ,

                                      I (t ) = ρf (k 0 ) L0 eν t .

     Объединяя полученные соотношения для L , K , I , C , Y на стацио-
нарной траектории, получаем систему равенств

                                     ⎧         L(t ) = L0 eν t ;
                                     ⎪
                                     ⎪         K (t ) = k1 L0 eν t ;
                                     ⎪
                                     ⎨        Y (t ) = f (k1 ) L0 eν t ;
                                     ⎪ C (t ) = (1 − ρ ) f (k ) L eν t ;
                                     ⎪                        1 0
                                     ⎪⎩ I (t ) = ρf (k1 ) L0 eν t .

      Таким образом, на стационарной траектории все основные макропо-
казатели растут экспоненциально, пропорционально трудовым ресурсам.
      Рассмотренный общий случай поясним на примере производствен-
ной функции Кобба − Дугласа F ( K , L) = AK α L1−α , A > 0, 0 < α < 1.
      Поскольку при этом f (k ) = F (k ,1) = Ak α , то уравнение (7.51) прини-
мает вид:

                   dk
                      = ρAk α − ( µ + ν )k , k (0) = k 0 .                        (7.5.3)
                   dt

      Сделаем замену переменной

                  k (t ) = u (t )e − ( µ +ν )t ,                                  (7.5.4)

Страницы