Математика. Курзина В.М - 271 стр.

                                     271

                        ⎧      x1 + 2kx2 = 3;
                        ⎪
                        ⎨    2 x1 − x2 = k + 1;
                        ⎪4 x + (4k − 1) x = 7 + k .
                        ⎩ 1              2


      Нетрудно заметить, что третье уравнение этой системы получается
как сумма второго уравнения с умноженным на число два первым уравне-
нием, т. е. является их линейной комбинацией и, следовательно, третье
уравнение рассматриваемой системы уравнений линейно зависимое от
первых двух уравнений, поэтому в дальнейшем его не рассматриваем.
Третье уравнение системы не дает решений, отличных от тех, что получа-
ются из первых двух уравнений системы.
       1) Определим ранг основной и расширенной матриц системы ли-
нейных уравнений методом Гаусса. Для этого приведем расширенную
матрицу системы к треугольному виду:

⎛1    2k       3     ⎞ ⎛1       2k           3    ⎞ ⎛1     2k        3   ⎞
⎜                    ⎟ ⎜                          ⎟ ⎜                    ⎟
⎜2    −1      k +1⎟ → ⎜0     − 1 − 4k      k − 5⎟ → ⎜0   − 1 − 4k   k − 5⎟
⎜4   4k − 1   7 + k ⎟⎠ ⎜0    − 1 − 4k      k − 5 ⎟⎠ ⎜0      0         0 ⎟⎠
⎝                      ⎝                            ⎝

      На первом шаге вычли поэлементно удвоенную первую строку из
второй строки матрицы и учетверенную первую строку из третьей строки
матрицы. На втором шаге вычли вторую строку из третьей строки матри-
цы.
      В результате получили матрицу, у которой на главной диагонали
стоят два ненулевых элемента, следовательно, ранг основной матрицы
системы равен двум. Вся третья строка треугольной матрицы состоит из
нулей, следовательно, третье уравнение линейно зависит от двух других
уравнений системы и ранг расширенной матрицы также равен двум и ра-
вен рангу основной системы.
      Согласно теореме Кронекера-Капелли такая система может иметь
множество решений, определяемых тремя фундаментальными решениями,
поскольку количество фундаментальных уравнений для системы из n
уравнений с m неизвестными определяется по формуле

                                         n!
                            Cnm =               ,
                                    m!⋅(n − m)!

которая для рассматриваемой системы уравнений запишется следующим
образом
                               3! 1 ⋅ 2 ⋅ 3
                       C 32 =      =          = 3.
                              2!⋅1! 1 ⋅ 2 ⋅ 1