Математика. Курзина В.М - 287 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

287
Решение.
Проведём полное исследование заданной функции.
1. Область определения заданной функции
),1()0,(
+
∞∪
−
∞
∈
x
.
2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция не является периодической.
3. Функция обращается в нуль при
.5,2)1/( ≈−= eex
Замечание: корни функции получены путём решения уравнения
.01
1
ln2 =+
−
x
x
Промежутки знакопостоянства:
при );5,2()0,( +∞∪−∞∈
x
функция положительная, при )5,2;1(
∈
x
функция
отрицательная.
Замечание: промежутки знакопостоянства рассматриваемой функции
получили, решив неравенство
.01
1
ln2 >+
−
x
x
4. Прямые х = 0 и х = 1 ⎯ вертикальные асимптоты.
Прямая у = 1 ⎯ горизонтальная асимптота.
Наклонных асимптот у заданной функции нет.
5. Первая производная функции
)1(
2
−
=
′
xx
y ,
т.е. нигде в области определения функции не обращается в ноль. Поэтому
экстремумов у данной функции нет, функция всюду в своей области опре-
деления возрастает.
6. Вторая производная
22
)1(
)5,0(4
−
−
−
=
′′
xx
x
y .
Она обращается в ноль в точке
х = 0,5, которая не принадлежит области определения функции. Поэтому
точек перегиба у заданной функции нет; при )0;(
−
∞
∈
x
функция вогнута, а
при );1( +∞∈
x
функция выпукла. 
                                      287

      Решение.
      Проведём полное исследование заданной функции.
1. Область определения заданной функции
                              x ∈ (−∞,0) ∪ (1,+∞) .
2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
   Функция не является периодической.
3. Функция обращается в нуль при x = e /( e − 1) ≈ 2,5.
   Замечание: корни функции получены путём решения уравнения

                                     x −1
                              2 ln        + 1 = 0.
                                       x

  Промежутки знакопостоянства:
при x ∈ (−∞,0) ∪ (2,5;+∞) функция положительная, при x ∈ (1;2,5) функция
отрицательная.
  Замечание: промежутки знакопостоянства рассматриваемой функции
получили, решив неравенство

                                    x −1
                             2 ln        + 1 > 0.
                                      x

4. Прямые х = 0 и х = 1 ⎯ вертикальные асимптоты.
Прямая у = 1 ⎯ горизонтальная асимптота.
Наклонных асимптот у заданной функции нет.
5. Первая производная функции

                                          2
                              y′ =              ,
                                      x( x − 1)

т.е. нигде в области определения функции не обращается в ноль. Поэтому
экстремумов у данной функции нет, функция всюду в своей области опре-
деления возрастает.
6. Вторая производная
                                   − 4( x − 0,5)
                             y ′′ = 2            .
                                    x ( x − 1) 2

Она обращается в ноль в точке
х = 0,5, которая не принадлежит области определения функции. Поэтому
точек перегиба у заданной функции нет; при x ∈ (−∞; 0) функция вогнута, а
при x ∈ (1;+∞) функция выпукла.

Страницы