Математика. Курзина В.М - 288 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

288
8. Изобразим график функции, используя проведенное исследование.
y
1
1
ln2 +
−
=
x
x
y
1
0 1 x
Пример выполнения третьего задания
Задание. Найти предел
2
0
sin
lim
x
x
x→
по правилу Лопиталя.
Решение. По правилу Лопиталя этот предел может быть найден по-
следовательным дифференцированием числителя и знаменателя необхо-
димое число раз:
=
→
2
0
sin
lim
x
x
x
0
2
sin
lim
2
cos
lim
00
=
−
=
→→
x
x
x
xx
.
Задание. Разложить функцию
x
x
f
cos)(
=
по формуле Тейлора в ок-
рестности точки 0.
Решение. Поскольку для производных заданной функции справедли-
ва формула
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= nxxf
n
2
cos)(
)(
π
,
получаем
⎩
⎨
⎧
=−
+=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
.2,)1(
;12,0
2
cos)0(
)(
kn
kn
nf
k
n
π
                                    288

8. Изобразим график функции, используя проведенное исследование.



                    y




                                                         x −1
                                              y = 2 ln        +1
                                                           x



                     1

                     0     1                                   x




                 Пример выполнения третьего задания

                                   sin x
     Задание. Найти предел lim           по правилу Лопиталя.
                               x →0 x 2

     Решение. По правилу Лопиталя этот предел может быть найден по-
следовательным дифференцированием числителя и знаменателя необхо-
димое число раз:
                           sin x               cos x         − sin x
                    lim 2 = lim                       = lim          = 0.
                    x →0 x              x →0 2x         x →0    2
     Задание. Разложить функцию f ( x) = cos x по формуле Тейлора в ок-
рестности точки 0.
     Решение. Поскольку для производных заданной функции справедли-
ва формула
                                                     ⎛     π ⎞
                                 f ( n ) ( x) = cos⎜ x + n ⎟ ,
                                                     ⎝     2 ⎠
     получаем
                                            ⎛ π ⎞ ⎧0, n = 2k + 1;
                      f ( n ) (0) = cos⎜ n ⎟ = ⎨
                                            ⎝ 2 ⎠ ⎩(−1) k , n = 2k .

Страницы