Математика. Курзина В.М - 292 стр.

                                      292

     Предварительно студент должен изучить тему "Функции нескольких
переменных" по материалам лекций и любому из учебных пособий, ука-
занных в списке рекомендуемой литературы.

                   Пример выполнения первого задания

     Задание. Найдите область определения и множество значений функ-
ций u = f ( x, y ) = x + y.
     Решение. Функция определена в области D = {x ∈ R; y ∈ R}. Множе-
ством значений функции является вся числовая ось u ∈ R.

                  Пример выполнения второго задания

     Задание. Найдите частные производные первого порядка функции

                           U = f ( x, y ) = 3 x + 2 y + xy.

     Решение. Частные производные первого порядка функции равны:
                   f x' ( x, y ) = 3 + y; f y' ( x, y ) = 2 + x.

                  Пример выполнения третьего задания

     Задание. Найдите градиент функции f ( x, y ) в точке М, если
                           f ( x, y ) = x − 2 y 2 ; M (0;−1).
     Решение. По определению, градиент функции равен вектору, опреде-
ляемому по формуле
                       grad f = f x' ⋅ i + f y' ⋅ j = i − 4 y ⋅ j.
     Подставляя координаты заданной в условии задачи точки, получаем
значение градиента в заданной точке:
                                       grad f   M   = i + 4 ⋅ j.

                 Пример выполнения четвертого задания

     Задание. Найдите производную функции f ( x, y ) по направлению l в
точке М, если           f ( x, y ) = xy; M (π; π); l = {− 1;1}.
     Решение. Поскольку значения частных производных заданной функ-
ции и направляющие косинусы заданного в условии задачи вектора на-
правления равны соответственно:
      f x' ( x, y ) = y; f y' ( x, y ) = x; cos α = −1 / 2 ; cos β = 1 / 2,