Математика. Курзина В.М - 293 стр.

                                            293

производная по направлению равна
                             ∂f − 1     1
                                =    y+    x,
                             ∂l    2     2
и в точке M (π; π) ее значение равно 0.

                        Пример выполнения пятого задания

         Задание. Найдите частные производные второго порядка функции
 f ( x, y ) , если f ( x, y ) = x 2 + 3 y 4 .
         Решение. Частные производные второго порядка являются произ-
водными от частных производных первого порядка заданной функции, а
именно: поскольку
                                     f x' ( x, y ) = 2 x, f y' ( x, y ) = 12 y 3 ,
получаем
                        f xx'' ( x, y ) = 2; f xy'' ( x, y ) = 0; f yy'' ( x, y ) = 36 y 2 .
                       Пример выполнения шестого задания

      Задание. Исследовать на экстремум функцию u = x 2 + y 2 .
      Решение. Найдем частные производные первого порядка заданной
функции
                               f x' ( x, y ) = 2 x;      f y' ( x, y ) = 2 y.
      Необходимым условием экстремума является обращение в нуль в
критической точке всех частных производных первого порядка. Обе про-
изводные первого порядка обращаются в нуль в точке M (0;0) − критиче-
ской точке функции.
      Достаточное условие экстремума проверяем с помощью частных
производных второго порядка, которые равны для данной функции:
                    f xx'' ( x, y ) = 2; f xy'' ( x, y ) = 0; f yy'' ( x, y ) = 2.
      Проверяем условие существования локального экстремума функции
                  ∆ = ( f xy'' ) 2 − f xx'' ⋅ f yy'' = 0 − 2 ⋅ 2 = −4 < 0 .
Итак, в точке M (0;0) − локальный минимум функции u = x 2 + y 2 . Мини-
мум функции равен 0.

                      Пример выполнения седьмого задания

     Задание. Исследовать функцию u = f ( x, y ) на условный экстремум
при заданных уравнениях связи: u = 1 − x − 2 xy; x + y = 1;