Математика. Курзина В.М - 296 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

296
Пример выполнения первого задания
Задание. Найти неопределенный интеграл по dx от функции х
2
.
Решение. Рассматриваемый интеграл
∫
dxx
2
является одним из таб-
личных, а именно, интегралом от степенной функции
n
xxf =)(
, где n = 2.
Его первообразная также является степенной функцией
1
)(
1
+
=
+
n
x
xF
n
и при
n = 2 приводится к виду
3
)(
3
x
xF = . Таким образом, все семейство перво-
образных или неопределенный интеграл от функции х
2
можно записать в
виде равенства
∫
dxx
2
=
3
3
x
+ С, определенного во всем диапазоне изме-
нений переменной х.
Пример выполнения второго задания
Задание. Найти все первообразные функции
x
x
f
ln)(
=
.
Решение. Первообразной функции )(
x
f
называется такая функция
)(
x
F , производная от которой равна )(
x
f
. Все семейство первообразных
функций для заданной в условии задачи функции )(
x
f
записывается в ви-
де неопределенного интеграла
)(
x
F + С =
∫
dxxf )( =
∫
xdxln .
Следовательно, задача заключается в том, чтобы найти записанный
интеграл. Этот интеграл находим, применяя формулу интегрирования по
частям, а именно
∫∫
−= vduuvudv
.
В соответствии с условиями задачи, запишем подынтегральную
функцию )(
x
u в виде
x
x
u ln)(
=
, а в качестве дифференциала второй
функции )(
x
v
рассмотрим величину dv = dx. Тогда, поскольку дифферен-
циал du =
x
1
, а функция v = x, получаем
∫
xdxln =
∫∫
+−=−=− Cxxxdxxx
x
dx
xxx lnlnln .
Итак, семейство первообразных для рассматриваемой в задаче функ-
ции определяется равенством
)(
x
F + С =
C
x
x
x
+
−
ln .
Областью определения этих функций является интервал (0, ∞), поскольку
в остальных точках оси 0х неопределенна функция
x
ln . 
                                    296

                   Пример выполнения первого задания

     Задание. Найти неопределенный интеграл по dx от функции х2.
     Решение. Рассматриваемый интеграл ∫ x 2 dx является одним из таб-
личных, а именно, интегралом от степенной функции f ( x) = x n , где n = 2.
                                                              x n +1
Его первообразная также является степенной функцией F ( x) =         и при
                                                              n +1
                                 x3
n = 2 приводится к виду F ( x) =    . Таким образом, все семейство перво-
                                 3
образных или неопределенный интеграл от функции х2 можно записать в
                          x3
виде равенства ∫ x 2 dx =     + С, определенного во всем диапазоне изме-
                          3
нений переменной х.

                   Пример выполнения второго задания

       Задание. Найти все первообразные функции f ( x) = ln x .
       Решение. Первообразной функции f (x) называется такая функция
F (x) , производная от которой равна f (x) . Все семейство первообразных
функций для заданной в условии задачи функции f (x) записывается в ви-
де неопределенного интеграла
                                    F (x) + С = ∫ f ( x)dx = ∫ ln xdx .
       Следовательно, задача заключается в том, чтобы найти записанный
интеграл. Этот интеграл находим, применяя формулу интегрирования по
частям, а именно
                                   ∫ udv = uv − ∫ vdu .
        В соответствии с условиями задачи, запишем подынтегральную
функцию u (x) в виде u ( x) = ln x , а в качестве дифференциала второй
функции v(x) рассмотрим величину dv = dx. Тогда, поскольку дифферен-
           1
циал du = , а функция v = x, получаем
           x
                                     dx
             ∫ ln xdx = x ln x − ∫ x x = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .
       Итак, семейство первообразных для рассматриваемой в задаче функ-
ции определяется равенством
                              F (x) + С = x ln x − x + C .
Областью определения этих функций является интервал (0, ∞), поскольку
в остальных точках оси 0х неопределенна функция ln x .

Страницы