Математика. Курзина В.М - 35 стр.

                                             35

          ⎛ 1 −1 − 3 4 ⎞                                               ⎛ 3 −1 − 2 4 ⎞
          ⎜              ⎟                                             ⎜              ⎟
          ⎜  6 2  5   3  ⎟                                             ⎜  5 3  1  6   ⎟
      17. ⎜                 .                                   18.    ⎜ 4 1 − 3 − 4⎟ .
             2 4  3 − 2⎟
          ⎜⎜             ⎟⎟                                            ⎜⎜             ⎟⎟
           ⎝ 2 1 − 1 − 3  ⎠                                             ⎝ 1 2  8  − 1  ⎠
          ⎛10 − 17 61 ⎞                                                  ⎛ 21 − 13 6 ⎞
          ⎜             ⎟                                                ⎜             ⎟
      19. ⎜ 11 35   47 ⎟ .                                      20.      ⎜ 45 39    4 ⎟.
          ⎜13 − 27 − 34 ⎟                                                ⎜ 51 − 26 − 3 ⎟
          ⎝             ⎠                                                ⎝             ⎠

                                  1. 6. Квадратичные формы

        Функцию L(v) , удовлетворяющую соотношению L (α u + β v ) =
= αL( u ) + βL( v ) , где u , v ∈ V − произвольные вектора; α, β ∈ R − произ-
вольные действительные числа, называют линейной формой на линейном
пространстве.             Линейная форма может быть записана в виде
L(v ) = ( c , v ) , где c − заданный вектор.
        Функция b ( u , v ) двух векторных аргументов u , v ∈ V, линейная по
каждому аргументу, называется билинейной формой на линейном про-
странстве. Линейность функции b ( u , v ) по каждому из аргументов оз-
начает, что для любых действительных чисел α, β и любых векторов
 u , v , w ∈ V выполняются равенства
                            b (α u +β v , w ) = α b ( u , w )+ βb ( v , w );
                           b ( u , α v +β w ) = α b ( u , v ) + β b ( u , w ).
       Пример 1.6.1. Частным случаем билинейной формы является скаляр-
ное произведение. Действительно, аксиомы скалярного произведения оз-
начают, что скалярное произведение как функция от двух переменных ли-
нейно по первому и второму аргументам.
       Выберем в n- мерном линейном пространстве V некоторый базис
e = ( e 1, ... , e n). Для билинейной формы b ( u , v ) обозначим bij = b ( e i, e j) ,
i, j = 1,..., n. Тогда для любых векторов u и v со столбцами координат
u = (u1,..., un) Т , v = (v1,..., vn ) Т в базисе e
                         n          n                n   n                     n   n
       b ( u , v ) = b ( ∑ u i ei , ∑ v j e j ) =   ∑ ∑ u i v j b(ei , e j ) = ∑ ∑ bij u i v j .
                        i =1       j =1             i =1 j =1                 i =1 j =1
      Используя квадратную матрицу В = (bij )n,n порядка n, где элемен-
ты матрицы определяются равенством bij = b (ei, ej), можем записать по-
лученное представление в матричной форме:
                              b (u , v ) = uTB v.