Математика. Курзина В.М - 37 стр.

                                       37

                                    ⎛ 1 0 2⎞
                                    ⎜        ⎟
                                    ⎜ 0 0  0 ⎟.
                                    ⎜ 2 0 0⎟
                                    ⎝        ⎠
      Так как Rg A = 2 < 3, то эта квадратичная форма является вырожден-
ной. В матричной записи квадратичная форма имеет вид

                                                  ⎛ 1 0 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞
                                                  ⎜       ⎟ ⎜ ⎟
                      х12   + 4х1х3 = (х1 х2 х3 ) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ x 2 ⎟ .
                                                  ⎜ 2 0 0⎟ ⎜ x ⎟
                                                  ⎝       ⎠ ⎝ 3⎠

      Пусть дана квадратичная форма uТАu, где u = (u1,...,un )Т. В n-мерном
линейном пространстве V с фиксированным базисом e она определяет
функцию f(u ) = uеТАuе , заданную через координаты вектора uе вектора u в
базисе e . Найдем представление этой же функции в некотором другом ба-
зисе a . Пусть U − матрица перехода от базиса e к базису a . Тогда коорди-
наты uе вектора u в базисе e и координаты uа вектора u в новом базисе
a будут связаны соотношением
                                 uе = U uа.                               (1.6.1)
      Функция f(x) в новом базисе будет выражаться через новые коорди-
наты вектора u следующим образом:
              u еТ А uе = (U u а)Т А (U ua) = uаТ(UТА U) uа = u аТ А′uа .
       Итак, функция f в новом базисе также записывается при помощи
квадратичной формы, причем матрица А′ этой квадратичной формы связа-
на с матрицей исходной квадратной формы соотношением А′ = U ТА U .
      Преобразование матрицы квадратичной формы вызывается заменой
переменных − переходом от переменных uе к переменным uа. Замену пе-
ременных вида (1.6.1) с произвольной матрицей U называют линейной.
Изменение базиса в линейном пространстве приводит к линейной замене
переменных (1.6.1) с невырожденной матрицей U.
      Пример 1.6.5. Квадратичную форму
                  f(x1, x2, x3) = 7x12 +5x22 +2x32 − 8x1x2 +2x1x3 − 6x2x3
преобразуем к новым переменным y1, ,y2, y3, где

                              ⎧ x1 = y1 + y 2 + y 3 ;
                              ⎪
                              ⎨ x 2 = y1 + 2 y 2 + 2 y 3 ;
                              ⎪ x = y + y + 2y .
                              ⎩ 3       1     2       3


Эта замена переменных в матричной форме записи имеет вид