Математика. Курзина В.М - 38 стр.

                                        38

                                        х = Uу,
             ⎛1 1 1 ⎞
             ⎜      ⎟
где      U = ⎜1 2 2 ⎟ .
             ⎜1 1 2 ⎟
             ⎝      ⎠
Согласно вышеизложенному имеем

                  ⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 7 − 4 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 0 ⎞
              T   ⎜      ⎟⎜            ⎟⎜       ⎟ ⎜         ⎟
      А′ = U AU = ⎜1 2 1 ⎟ ⎜ − 4 5 − 3 ⎟ ⎜1 2 2 ⎟ = ⎜ 0 3 0 ⎟ ,
                  ⎜1 2 2 ⎟ ⎜ 1 − 3 2 ⎟ ⎜1 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟
                  ⎝      ⎠⎝            ⎠⎝       ⎠ ⎝         ⎠

и квадратичная форма принимает вид f(у1, у2, у3) = 2у12 +3у22 − у32 , т. е. все
коэффициенты при попарных произведениях переменных обнуляются, и
остаются слагаемые с квадратами переменных.

                                     Канонический вид

        Канонический вид квадратичной формы Q( v ) − это координатная
запись формы, не содержащая произведений v iv j (i ≠j) , т. е. содержащая
лишь квадраты координат. Переменные v1 , ... , vn , в которых квадратичная
форма имеет канонический вид , называют каноническими переменными.
       Одним из методов преобразования (или, как говорят, приведения)
квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных со-
стоит в последовательном выделении полных квадратов. Проиллюстриру-
ем этот метод на примере.
        Пример 1.6.6. Рассмотрим квадратичную форму х12 − 4х1х2 от двух
переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим пол-
ный квадрат по переменной х1. Для этого соберем слагаемые, содержащие
х1, и дополним до полного квадрата:
                  х12 − 4х1 х2 = х12− 4х1х2 + 4х22 − 4х22 = (х1 − 2х2)2 − 4х22.
        Введя новые переменные z 1 = х 1 − 2 х2 , z2 = 2х2 , получим квадра-
тичную форму канонического вида: z 12 − z22 .
        Пример 1.6.7. Рассмотрим уравнение некоторой кривой второго
порядка х2 + у2 + z2 − х + 2у +1 = 0 и приведем его к каноническому виду,
для чего дополним до полных квадратов члены, содержащие х, у, z, т. е.
перепишем уравнение в следующем виде:
  (х2 − х + 0,25) − 0,25 + (у2 + 2у +1) − 1 + z 2 + 1 = (х − 0,5)2 + (у + 1)2 + z2 − 0,25.
       Замена переменных х′ = х − 0,5, у ′= у + 1, z ′ = z приводит к канони-
ческому виду уравнения кривой (х′)2 + (у′)2 + (z′)2 = 0,25, левая часть кото-
рого представляет из себя квадратичную форму в каноническом виде.