Математика. Курзина В.М - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

40
v
1
можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутству-
ет в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме
нет ни одного квадрата (например, такой является квадратичная форма
f(v
1
,v
2
) = v
1
v
2
). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить про-
межуточную замену переменных. Для этого выбираем любое слагаемое
квадратичной формы. Пусть для определенности b
12
≠ 0, так что при-
сутствует слагаемое 2b
12
v
1
v
2
. После замены переменных v
1
= v
1
′ + v
2
′;
v
2
= v
1
′ − v
2
′; v
3
= v
3
′; ... ; v
n
= v
n
′ получим квадратичную форму, у которой
присутствует квадрат переменного v
1
′, так как
v
1
v
2
= ( v
1
′ + v
2
′)(v
1
′ − v
2
′) = ( v
1
′)
2
− (v
2
′)
2
.
Отметим, что канонический вид, к которому приводится квадратич-
ная форма, определяется неоднозначно.
Пример 1.6.8. Квадратичная форма
f(v
) = ( v
1
)
2
− (v
2
)
2
в каноническом виде заменой w
1
= v
1
/ 3, w
2
= v
2
/3 приводится к
квадратической форме
9 w
1
2
− 9 w
2
2
также канонического вида.
Другим методом приведения квадратической формы к каноническо-
му виду является метод, основанный на ортогональном преобразовании
матрицы. Матрица А квадратичной формы при переходе к новому базису
изменяется по формуле А
′ = U
Т
АU, где U − матрица перехода. Если рас-
сматривать евклидово пространство, а старый и новый базисы выбраны
ортонормированными, то матрица перехода U является ортогональной и
мы имеем дело с ортогональным преобразованием квадратичной формы .
Теорема 1.6.1. При ортогональном преобразовании квадратичной
формы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.
Теорема 1.6.2. Любую квадратичную форму ортогональным преоб-
разованием можно привести к каноническому виду.
Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисле-
ния ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к
каноническому виду.
Пример 1.6.9. Квадратичную форму
21
2
121
4),( xxxxxf −= от двух
переменных мы приводили к каноническому виду методом выделения
полных квадратов. Теперь попробуем привести ее к каноническому виду
ортогнальным преобразованием. Матрица квадратичной формы имеет вид
А=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
02
21
.
Найдем характеристическое уравнение этой матрицы: 
                                   40

v 1 можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутству-
ет в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме
нет ни одного квадрата (например, такой является квадратичная форма
f(v1,v2) = v1v2 ). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить про-
межуточную замену переменных. Для этого выбираем любое слагаемое
квадратичной формы. Пусть для определенности b12 ≠ 0, так что при-
сутствует слагаемое 2b12v1v2. После замены переменных v1 = v1′ + v2′;
v2 = v1′ − v2′; v3 = v3′; ... ; vn = vn′ получим квадратичную форму, у которой
присутствует квадрат переменного v1 ′, так как
                     v1v2 = ( v1′ + v2′)(v1′ − v2′) = ( v1′)2 − (v2′)2.
       Отметим, что канонический вид, к которому приводится квадратич-
ная форма, определяется неоднозначно.
        Пример 1.6.8. Квадратичная форма
                                      f(v ) = ( v1)2 − (v2)2
        в каноническом виде заменой w1 = v1/ 3, w2 = v2 /3 приводится к
квадратической форме
                                          9 w12 − 9 w22
        также канонического вида.
        Другим методом приведения квадратической формы к каноническо-
му виду является метод, основанный на ортогональном преобразовании
матрицы. Матрица А квадратичной формы при переходе к новому базису
изменяется по формуле А′ = U ТАU, где U − матрица перехода. Если рас-
сматривать евклидово пространство, а старый и новый базисы выбраны
ортонормированными, то матрица перехода U является ортогональной и
мы имеем дело с ортогональным преобразованием квадратичной формы .
        Теорема 1.6.1. При ортогональном преобразовании квадратичной
формы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.
        Теорема 1.6.2. Любую квадратичную форму ортогональным преоб-
разованием можно привести к каноническому виду.
        Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисле-
ния ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к
каноническому виду.
       Пример 1.6.9. Квадратичную форму f ( x1 , x 2 ) = x12 − 4 x1 x 2 от двух
переменных мы приводили к каноническому виду методом выделения
полных квадратов. Теперь попробуем привести ее к каноническому виду
ортогнальным преобразованием. Матрица квадратичной формы имеет вид

                                     ⎛ 1 − 2⎞
                                  А= ⎜⎜      ⎟⎟ .
                                     ⎝ − 2 0  ⎠

      Найдем характеристическое уравнение этой матрицы:

Страницы