Математика. Курзина В.М - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

42
Аналогично определяются отрицательно определенная и неположи-
тельно определенная форма, при этом знаки неравенств будут меняться на
противоположные. Остальные квадратичные формы, не относящиеся к
определенным называют неопределенными, или знакопеременными,
квадратичными формами.
Пример 1.6.11. Рассмотрим четыре квадратичные формы от трех пе-
ременных:
f
1
(у
1
, у
2
, у
3
) = у
1
2
+ у
2
2
+ у
3
2
;
f
2
(у
1
, у
2
, у
3
) = у
1
2
+ у
2
2
;
f
3
(у
1
, у
2
, у
3
) = у
1
2
− у
2
2
+ у
3
2
;
f
4
(у
1
, у
2
, у
3
) = у
1
у
2
.
Квадратичная форма f
1
(у
1
, у
2
, у
3
) положительно определена, так как
представляет собой сумму трех квадратов, и потому принимает только по-
ложительные значения, если переменные одновременно не обращаются в
нуль. Квадратичная форма f
2
(у
1
, у
2
, у
3
) неотрицательно определена: буду-
чи суммой двух квадратов она не принимает отрицательных значений, но
при х
1
= х
2
= 0 и х
3
≠ 0, она принимает нулевые значения. Квадратичные
формы f
3
и f
4
знакопеременны. Первая из них положительна при векторе
х = (1, 0, 0 )
Т
и отрицательна при х = (0, 1, 0)
Т
. Вторая положительна при
х = (1, 1, 0)
Т
и отрицательна при х = (1, −1, 0)
Т
. Квадратичные формы f
2
и
f
4
являются вырожденными, так как ранг каждой из них равен двум.
Как следует из определения, тип квадратичной формы зависит толь-
ко от множества значений, которые она принимает, но не зависит от пере-
менных, в которых она записана. Поэтому, представив квадратичную фор-
му в каноническом виде, сразу получаем критерии для определения типа
квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений
ее матрицы (табл. 1.6.1).
Т а б л и ц а 1.6.1.
Тип квадратичной формы в зависимости от знака ее собственных
значений
Тип квадратичной формы Множество собственных значений
Положительно определенная
(для всех х ≠ 0 f(x) > 0)
Все собственные значения положитель-
ны (λ
i
>0 , i = 1, ..., n)
Отрицательно определенная
(для всех х ≠ 0 f(x) < 0)
Все собственные значения отрицательны
(λ
i
<0 , i = 1, ..., n)
Знакопеременная (существуют
такие столбцы х и у, что f(x) > 0
и f(у) < 0)
Есть собственные значения разных зна-
ков (существуют λ
i
>0 и λ
j
<0 )
Вырожденная (существует х ≠ 0
такая, что f(x) = 0)
Есть нулевое собственное значение
(существует λ
i
= 0) 
                                    42

     Аналогично определяются отрицательно определенная и неположи-
тельно определенная форма, при этом знаки неравенств будут меняться на
противоположные. Остальные квадратичные формы, не относящиеся к
определенным называют      неопределенными, или знакопеременными,
квадратичными формами.
     Пример 1.6.11. Рассмотрим четыре квадратичные формы от трех пе-
ременных:
                           f 1 (у1 , у2 , у3) = у12+ у22 + у32 ;
                          f 2 (у1 , у2 , у3) = у12 + у22;
                           f 3 (у1 , у2 , у3) = у12 − у22 + у32 ;
                          f 4 (у1 , у2 , у3) = у1у2 .

       Квадратичная форма f1 (у1 , у2 , у3) положительно определена, так как
представляет собой сумму трех квадратов, и потому принимает только по-
ложительные значения, если переменные одновременно не обращаются в
нуль. Квадратичная форма f 2 (у1 , у2 , у3) неотрицательно определена: буду-
чи суммой двух квадратов она не принимает отрицательных значений, но
при х1 = х2 = 0 и х3 ≠ 0, она принимает нулевые значения. Квадратичные
формы f3 и f4 знакопеременны. Первая из них положительна при векторе
х = (1, 0, 0 )Т и отрицательна при х = (0, 1, 0)Т. Вторая положительна при
х = (1, 1, 0)Т и отрицательна при х = (1, −1, 0)Т. Квадратичные формы f 2 и
f 4 являются вырожденными, так как ранг каждой из них равен двум.
       Как следует из определения, тип квадратичной формы зависит толь-
ко от множества значений, которые она принимает, но не зависит от пере-
менных, в которых она записана. Поэтому, представив квадратичную фор-
му в каноническом виде, сразу получаем критерии для определения типа
квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений
ее матрицы (табл. 1.6.1).
                                                               Т а б л и ц а 1.6.1.
       Тип квадратичной формы в зависимости от знака ее собственных
       значений
 Тип квадратичной формы             Множество собственных значений
 Положительно определенная          Все собственные значения положитель-
 (для всех х ≠ 0 f(x) > 0)          ны (λi >0 , i = 1, ..., n)
 Отрицательно определенная          Все собственные значения отрицательны
 (для всех х ≠ 0 f(x) < 0)          (λi <0 , i = 1, ..., n)
 Знакопеременная (существуют Есть собственные значения разных зна-
 такие столбцы х и у, что f(x) > 0 ков (существуют λi >0 и λj <0 )
 и f(у) < 0)
 Вырожденная (существует х ≠ 0 Есть нулевое собственное значение
 такая, что f(x) = 0)               (существует λi = 0)

Страницы