Математика. Курзина В.М - 43 стр.

                                    43

                               Критерий Сильвестра

     Тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собствен-
ных значений ее матрицы. Метод состоит в вычислении и проверке знаков
некоторых миноров матрицы квадратичной формы. Введем следующие
обозначения.
     Пусть матрица квадратичной формы f ( y ) = уТА у имеет вид
                                ⎛ a11     a12    ... a1n ⎞
                                ⎜                          ⎟
                                ⎜ a 21    a 22   ... a 2 n ⎟
                             А =⎜                            ,
                                    ...    ...   ... ... ⎟
                                ⎜⎜                         ⎟
                                 ⎝ a n1   a n2   ... a nn ⎟⎠
где аij = аj i , i, j = 1, ..., n.
      Рассмотрим угловые миноры этой матрицы, их также называют глав-
ными минорами:
                                                                    a11 ... a1n
                                            a11 a12
                       ∆1 = а11, ∆ 2 =                 , ...., ∆n = ... ... .... .
                                            a 21 a 22
                                                                    a n1 ... a nn
      Каждый угловой минор k-го порядка расположен на пересечении
первых k строк и первых k столбцов матрицы квадратичной формы. Угло-
вой минор максимального , n -го порядка представляет собой определитель
матрицы.
      Теорема о необходимом и достаточном условии положительной
определенности квадратичной формы (Критерий Сильвестра ).
      Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была по-
ложительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
неравенства
                                   ∆ 1 > 0 , ∆ 2 > 0 , ... , ∆n > 0 .
      Следствие 1. Для того чтобы квадратичная форма n переменных бы-
ла отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лись неравенства − ∆ 1 > 0, ∆ 2 > 0, ... , (−1)n ∆n > 0 (знаки угловых мино-
ров чередуются, начиная с минуса).
      Следствие 2. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна
тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено
хотя бы одно из условий:
      − один из угловых миноров равен нулю;
      − один из угловых миноров четного порядка отрицателен;
      − два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
      Пример 1.6.12. Квадратичная форма хТАх от трех переменных с мат-
рицей