Математика. Курзина В.М - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

41
λ−−
−λ−
02
21
= (1−
λ
) (−
λ
) − 4 =
λ
2
−
λ
− 4 = 0.
Вычисляем корни характеристического уравнения, они же собст-
венные значения матрицы А:
λ
1,2
= (1 ± 17 )/2.
Теперь можно записать канонический вид квадратичной формы:
f(у
1
, у
2
) =
2
171 +
у
1
2
+
2
171 −
у
2
2
.
Пример 1.6.10. Найдем канонический вид квадратичной формы
f(х
1
, х
2
) = 5х
1
2
+8х
1
х
2
+ 5х
2
2
,
к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем
одно из таких ортогональных преобразований. Квадратичная форма имеет
матрицу
А =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
54
45
с характеристическим уравнением матрицы
λ−
λ
−
54
45
= (5 −
λ
)
2
− 16 = 0.
Собственными значениями матрицы квадратичной формы являются
λ
1
= 1,
λ
2
= 9, т.е. квадратичная форма приводится к каноническому виду
f(у
1
,у
2
) = у
1
2
+ 9 у
2
2
. Для построения ортогонального преобразования най-
дем собственные векторы матрицы рассматриваемой квадратичной фор-
мы. Из однородной системы алгебраических уравнений ( А − λЕ)х = 0 при
λ
1
= 1 находим соответствующий собственный вектор e
1
= (1, −1)
Т
. Тогда
вектор
e
2
= (1, 1)
Т
будет собственным вектором с собственным значени-
ем λ
2
= 9. Пронормировав эти векторы, составляем из столбцов их коор-
динат матрицу ортогонального преобразования
Р =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
11
11
2
1
,
которой соответствует линейная замена переменных х = Р у.
Положительно и неотрицательно определенные квадратичные формы
Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимо-
сти от множества их значений.
Положительно определенная квадратичная форма Q(v) −это
форма
Q(v) ≥ 0 для всех v; Q(v) = 0 только в случае v = 0.
Неотрицательно определенная квадратичная форма Q(v) − это
форма Q(v) ≥ 0 для любых v. 
                                      41

                 1− λ      −2
                                 = (1−λ) (− λ) − 4 = λ2 − λ − 4 = 0.
                  −2      0−λ
     Вычисляем корни характеристического уравнения, они же собст-
венные значения матрицы А:
                             λ1,2 = (1 ± 17 )/2.
     Теперь можно записать канонический вид квадратичной формы:
                                      1 + 17 2 1 − 17 2
                        f(у1, у2) =         у1 +     у2 .
                                         2        2
     Пример 1.6.10. Найдем канонический вид квадратичной формы
                         f(х1, х2) = 5х12 +8х1х2 + 5х22 ,
к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем
одно из таких ортогональных преобразований. Квадратичная форма имеет
матрицу
                                        ⎛ 5 4⎞
                                  А = ⎜⎜      ⎟⎟
                                        ⎝ 4 5  ⎠
с характеристическим уравнением матрицы
                           5−λ  4
                                   = (5 −λ)2 − 16 = 0.
                            4  5−λ
        Собственными значениями матрицы квадратичной формы являются
λ1 = 1, λ 2 = 9, т.е. квадратичная форма приводится к каноническому виду
f(у1,у2) = у12 + 9 у22 . Для построения ортогонального преобразования най-
дем собственные векторы матрицы рассматриваемой квадратичной фор-
мы. Из однородной системы алгебраических уравнений ( А − λЕ)х = 0 при
λ1 = 1 находим соответствующий собственный вектор e 1 = (1, −1) Т . Тогда
вектор e 2 = (1, 1)Т будет собственным вектором с собственным значени-
ем λ2 = 9. Пронормировав эти векторы, составляем из столбцов их коор-
динат матрицу ортогонального преобразования
                                           1 ⎛ 1 1⎞
                                 Р =         ⎜⎜       ⎟⎟ ,
                                            2⎝  − 1 1  ⎠
которой соответствует линейная замена переменных х = Р у.

Положительно и неотрицательно определенные квадратичные формы

      Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимо-
сти от множества их значений.
      Положительно определенная квадратичная форма Q(v) −это
форма Q(v) ≥ 0 для всех v; Q(v) = 0 только в случае v = 0.
      Неотрицательно определенная квадратичная форма Q(v) − это
форма Q(v) ≥ 0 для любых v.

Страницы