Математика. Курзина В.М - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

39
Приведение к каноническому виду
Как применять метод выделения полных квадратов в общем случае?
Рассмотрим квадратичную форму от n переменных общего вида:
f( v) =
∑
=
n
i
iii
vb
1
2
+ 2
∑
≤<≤ nji
jiij
vvb
1
, b
ij
∈ R.
Если b
11
≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие перемен-
ное х
1
, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат.
В результате получим
f( v) = b
11
v
1
2
+ 2
∑
=
n
j
jj
vvb
2
11
+
∑
=
n
i
iii
vb
2
2
+ 2
∑
≤<≤ nji
jiij
vvb
2
=
=
2
1212111
)...(
nn
vavavb +++
− b
11
∑
=
n
j
jj
va
2
22
1
−
−2b
11
∑
≤<≤ nji
jiji
vvaa
2
11
+
∑
=
n
i
iii
vb
2
2
+ 2
∑
≤<≤ nji
jiij
vvb
2
= b′
1
(
∑
=
n
j
jj
va
1
1
)
2
+ f
1
(v
2
,...,v
n
),
где b
′
1
= b
11
, а
1j
= b
1j
/ b
11
, (j = 1, ..., n);
f
1
(v
2
,..., v
n
) − квадратичная форма, не содержащая переменного v
1
.
С квадратичной формой f
1
можно поступить аналогичным образом,
выделяя полный квадрат по переменной v
2
. Продолжая процесс, мы преоб-
разуем квадратичную форму f (v) к виду
f(v) = b′
1
(
∑
=
n
j
jj
va
1
1
)
2
+ b′
2
(
∑
=
n
j
jj
va
2
2
)
2
+ ... + b′
r
(
∑
=
n
rj
jrj
va )
2
,
где коэффициенты b
′
j
являются ненулевыми, а а
jj
= 1, (j = 1, ..., r).
Выполним линейную замену переменных
v
1
′ = а
11
v
1
+.... + а
1n
v
n
;
v
2
′ = а
22
v
1
+.... + а
2n
v
n
;
…………………..... ;
v
r
′ = а
rr
v
1
+.... + а
rn
v
n
;
v
r+1
′ = v
r+1
,... , v
n
′ = v
n
,
определяемую верхней треугольной матрицей А .
Отметим, что диагональные элементы матрицы А равны единице, по-
этому эта матрица невырождена. В результате замены переменных мы
придем к квадратичной форме
f(v
′)= b′
1
(v
1
′)
2
+....+ b′
r
(v
r
′)
2
,
имеющей канонический вид.
Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в
квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степе-
ни. Например, может случиться, что b
11
= 0. Тогда мы вместо переменного 
                                                      39

                                     Приведение к каноническому виду

     Как применять метод выделения полных квадратов в общем случае?
Рассмотрим квадратичную форму от n переменных общего вида:
                                             n
                                                          2
                                 f( v) = ∑ bii vi + 2                    ∑    bij vi v j   , bij ∈ R.
                                            i =1                      1≤i < j ≤ n
      Если b11 ≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие перемен-
ное х1, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат.
В результате получим
                                      n                       n
                                                                         2
           f( v) = b11v12 + 2 ∑ b1 j v1v j + ∑ bii vi + 2                           ∑    bij vi v j         =
                                     j =2                 i =2                   2≤i < j ≤ n
                                                                                   n
                 = b11 (v1 + a12 v 2 + ... + a1n v n ) 2 − b11                    ∑ a1 j
                                                                                            2         2
                                                                                                    vj −
                                                                                  j =2
                                      n                                                         n
                                                 2
−2b11      ∑ a1i a1 j vi v j     +   ∑ bii vi        +2           ∑ bij vi v j   = b′1 ( ∑ a1 j v j )2 + f1(v2,...,vn),
        2≤i < j ≤ n                  i =2                 2≤i < j ≤ n                        j =1


где    b′1 = b11 , а1j = b1j / b11 , (j = 1, ..., n);
       f1(v2,..., vn) − квадратичная форма, не содержащая переменного v1.
     С квадратичной формой f1 можно поступить аналогичным образом,
выделяя полный квадрат по переменной v2. Продолжая процесс, мы преоб-
разуем квадратичную форму f (v) к виду
                           n                               n                                          n
             f(v) = b′1 ( ∑ a1 j v j )2 + b′2 ( ∑ a 2 j v j )2 + ... + b′r ( ∑ a rj v j )2 ,
                          j =1                            j =2                                       j =r
где коэффициенты b′j являются ненулевыми, а аjj = 1, (j = 1, ..., r).
      Выполним линейную замену переменных
                         v1′ = а11v1 +.... + а1n vn ;
                         v2′ = а22v1 +.... + а2n vn ;
                           …………………..... ;
                          vr′ = аrrv1 +.... + аrn vn;
                          vr+1′ = v r+1 ,... , vn′ = vn ,
определяемую верхней треугольной матрицей А .
      Отметим, что диагональные элементы матрицы А равны единице, по-
этому эта матрица невырождена. В результате замены переменных мы
придем к квадратичной форме
                         f(v′)= b′1 (v1′)2 +....+ b′r(vr′)2 ,
имеющей канонический вид.
      Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в
квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степе-
ни. Например, может случиться, что b11 = 0. Тогда мы вместо переменного

Страницы