Математика. Курзина В.М - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

44
А =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
311
110
101
положительно определена, так как ∆
1
= ∆
2
= ∆
3
= 1 > 0.
Пример 1.6.13. Квадратичная форма х
Т
Ах от трех переменных с мат-
рицей
А =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
511
113
131
является знакопеременной, так как она невырождена (∆
3
≠ 0) и ∆
1
= 1 > 0 ,
а ∆
2
= − 8 < 0.
Пример 1.6.14. Квадратичная форма 2х
1
х
2
от двух переменных явля-
ется знакопеременной, так как она невырождена (∆
2
= −1≠ 0) , а ∆
1
= 0.
Пример 1.6.15. Квадратичная форма f(x
1
, x
2
,x
3
, x
4
) = 4x
1
x
3
+ 2x
2
x
4
+ x
4
2
имеет угловые миноры ∆
1
= ∆
2
= ∆
3
= 0, ∆
4
= 4 и, следовательно, явля-
ется знакопеременной. В этом можно убедиться, используя несложное
преобразование квадратичной формы:
f( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (x
1
+x
3
)
2
− x
2
2
− (х
1
−
x
3
)
2
+ (х
2
+x
4
)
2
.
Закон инерции
Теорема 1.6.4. Ранг квадратичной формы не меняется при невыро-
жденных линейных заменах переменных и равен числу отличных от нуля
коэффициентов в любом ее каноническом виде
. Другими словами, ранг
квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных значений
матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности)
.
Теорема 1.6.5. Для любых двух канонических видов
f
1
(у
1
, ..., у
m
) = λ
1
у
1
2
+....+ λ
m
у
m
2
, λ
i
≠ 0, i = 1, ..., m,
f
2
(z
1
, ..., z
k
) = µ
1
z
1
2
+....+ µ
k
z
k
2
, µ
j
≠ 0, j = 1, ..., k,
одной и той же квадратичной формы m = k, и ранг квадратичной формы
равен этому числу; количество положительных коэффициентов
λ
i
совпа-
дает с количеством положительных коэффициентов
µ
j
; количество от-
рицательных коэффициентов
λ
i
совпадает с количеством отрицатель-
ных коэффициентов
µ
j
.
Упражнения
Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:
1.
.2)(
22
yxyxxf −+−=
2.
.43844)(
22
xzzyzxyxxf −−++= 
                                         44

                                           ⎛ 1 0 − 1⎞
                                           ⎜             ⎟
                                      А= ⎜ 0 1 1 ⎟
                                           ⎜−1 1 3 ⎟
                                           ⎝             ⎠
положительно определена, так как ∆1 = ∆ 2 = ∆ 3 = 1 > 0.
      Пример 1.6.13. Квадратичная форма хТАх от трех переменных с мат-
рицей
                                         ⎛ 1 −3 1 ⎞
                                         ⎜                ⎟
                                     А = ⎜ − 3 1 − 1⎟
                                         ⎜ 1 −1 5 ⎟
                                         ⎝                ⎠
является знакопеременной, так как она невырождена (∆3 ≠ 0) и ∆1 = 1 > 0 ,
а ∆2 = − 8 < 0.
      Пример 1.6.14. Квадратичная форма 2х1х2 от двух переменных явля-
ется знакопеременной, так как она невырождена (∆2 = −1≠ 0) , а ∆1 = 0.
      Пример 1.6.15. Квадратичная форма f(x1, x2 ,x3 , x4) = 4x1x3 + 2x2x4+ x42
имеет угловые миноры ∆ 1 = ∆ 2 = ∆ 3 = 0, ∆ 4 = 4 и, следовательно, явля-
ется знакопеременной. В этом можно убедиться, используя несложное
преобразование квадратичной формы:
                f( x1, x2 , x3 , x4) = (x1+x3 )2− x22 − (х1− x3)2 + (х2+x4)2.

                                       Закон инерции

      Теорема 1.6.4. Ранг квадратичной формы не меняется при невыро-
жденных линейных заменах переменных и равен числу отличных от нуля
коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг
квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных значений
матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).
      Теорема 1.6.5. Для любых двух канонических видов
                f1(у1, ..., уm) = λ1 у12 +....+ λ mуm2 , λi ≠ 0, i = 1, ..., m,
               f2(z1, ..., zk ) = µ1 z12 +....+ µ k zk2, µj ≠ 0, j = 1, ..., k,
одной и той же квадратичной формы m = k, и ранг квадратичной формы
равен этому числу; количество положительных коэффициентов λi совпа-
дает с количеством положительных коэффициентов µj; количество от-
рицательных коэффициентов λi совпадает с количеством отрицатель-
ных коэффициентов µj.

                                     Упражнения

       Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:
1. f ( x) = − x 2 + 2 xy − y 2 .
2. f ( x) = 4 x 2 + 4 xy + 8 yz − 3 z 2 − 4 xz.

Страницы