Математика. Курзина В.М - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

36
Матрицу В называют
матрицей билинейной формы b (v , v ) в ба-
зисе
e
= (
e
1
,
... ,
e
n
). Таким образом, билинейная форма однозначно опре-
деляется своей матрицей в произвольно выбранном базисе.
Функция вида q (
v
) = b (
v
,
v
), где b − билинейная форма с симмет-
рической матрицей, называется
квадратичной формой. Используя пред-
ставление билинейной формы
в базисе e = (e
1
,
... , e
n
), квадратичную
форму можно представить в виде многочлена второй степени от n пере-
менных с действительными коэффициентами
q(
v ) = b ( v , v ) =
∑
=
n
i
iii
vb
1
2
+ 2
∑
≤<≤ nji
jiij
vvb
1
, b
ij
∈ R.
Это представление квадратичной формы называется
координатной запи-
сью квадратичной формы q (
v ).
Пример 1.6.2. Выражение 5х
2
+ 4ху +8у
2
задает некоторую квадра-
тичную форму в пространстве R
2
.
Пример 1.6.3. Выражение 9х
2
+6у
2
+ z
2
-7ху + 3xz -7yz задает квадра-
тичную форму в пространстве R
3
.
Матрица квадратичной формы
Квадратичная форма представляет интерес как способ задания неко-
торой функции векторного аргумента, определенной в n-мерном линейном
пространстве V. Если в этом пространстве выбрать некоторый базис, то
квадратичную форму можно трактовать как функцию, значение которой
определено через координаты v
1
, v
2
,..., v
n
вектора
v
. Эту функцию часто
отождествляют с квадратичной формой.
Так же, как и билинейную форму, квадратичную форму можно за-
писать в матричном виде: v
T
Bv, где v = (v
1
,..., v
n
)
Т
− столбец, составлен-
ный из переменных функции q; В = (b
ij
)
n,n
− симметрическая матрица по-
рядка n, называемая
матрицей квадратичной формы. Ранг матрицы В
квадратичной формы называют
рангом квадратичной формы.
Если матрица В имеет максимальный ранг, равный числу перемен-
ных n, то квадратичную форму называют
невырожденной, а если ранг В
меньше n, то ее называют
вырожденной.
Характеристическим уравнением матрицы В называется уравне-
ние
0
=
λ
−
EB ,
а его корни −
собственными числами матрицы В.
Пример 1.6.4. Квадратичная форма от трех переменных х
1
2
+ 4х
1
х
3
имеет матрицу 
                                         36

      Матрицу В называют матрицей билинейной формы b ( v , v ) в ба-
зисе e = ( e 1, ... , e n). Таким образом, билинейная форма однозначно опре-
деляется своей матрицей в произвольно выбранном базисе.
      Функция вида q ( v ) = b ( v , v ), где b − билинейная форма с симмет-
рической матрицей, называется квадратичной формой. Используя пред-
ставление билинейной формы в базисе e = ( e 1, ... , e n), квадратичную
форму можно представить в виде многочлена второй степени от n пере-
менных с действительными коэффициентами
                                   n
                                              2
              q( v ) = b ( v , v ) = ∑ bii vi + 2      ∑    bij vi v j   , bij ∈ R.
                                  i =1              1≤i < j ≤ n
 Это представление квадратичной формы называется координатной запи-
сью квадратичной формы q ( v ).
      Пример 1.6.2. Выражение 5х2 + 4ху +8у2 задает некоторую квадра-
тичную форму в пространстве R2.
      Пример 1.6.3. Выражение 9х2 +6у2+ z2 -7ху + 3xz -7yz задает квадра-
тичную форму в пространстве R3.

                          Матрица квадратичной формы

       Квадратичная форма представляет интерес как способ задания неко-
торой функции векторного аргумента, определенной в n-мерном линейном
пространстве V. Если в этом пространстве выбрать некоторый базис, то
квадратичную форму можно трактовать как функцию, значение которой
определено через координаты v1, v2,..., vn вектора v . Эту функцию часто
отождествляют с квадратичной формой.
       Так же, как и билинейную форму, квадратичную форму можно за-
писать в матричном виде: vTBv, где v = (v1,..., vn ) Т − столбец, составлен-
ный из переменных функции q; В = (bij)n,n − симметрическая матрица по-
рядка n, называемая матрицей квадратичной формы. Ранг матрицы В
квадратичной формы называют рангом квадратичной формы.
       Если матрица В имеет максимальный ранг, равный числу перемен-
ных n, то квадратичную форму называют невырожденной, а если ранг В
меньше n, то ее называют вырожденной.
       Характеристическим уравнением матрицы В называется уравне-
ние
                                 B − λE = 0 ,
а его корни − собственными числами матрицы В.
       Пример 1.6.4. Квадратичная форма от трех переменных х12 + 4х1х3
имеет матрицу

Страницы