Математика. Курзина В.М - 47 стр.

                                         47

             ⎧ x1 = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n + y1 ;
             ⎪ x = a x + a x + ... + a x + y ;
             ⎪ 2       21 1       22 2                2n n         2
             ⎨                                                                                (1.7.3)
             ⎪ ...................................................
             ⎪⎩ x n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n + y n .
     Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной
продукции (вектор валового выпуска), объемов произведенной продукции
конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэф-
фициентов прямых затрат:
                         ⎛ x1 ⎞      ⎛ y1 ⎞      ⎛ a11                 a12    ... a1n ⎞
                         ⎜ ⎟         ⎜ ⎟         ⎜                                      ⎟
                         ⎜ ⎟x        ⎜ ⎟y        ⎜a                    a 22   ... a 2 n ⎟
                     x = ⎜ 2 ⎟ , y = ⎜ 2 ⎟ , A = ⎜ 21                                     .
                            ...         ...          ...                ...   ... ... ⎟
                         ⎜⎜ ⎟⎟       ⎜⎜ ⎟⎟       ⎜⎜                                     ⎟⎟
                          ⎝ xn ⎠      ⎝ yn ⎠      ⎝ a n1               a n2   ... a nn ⎠
      Тогда система уравнений (1.7.3) запишется в матричной форме
                        x = A x + y.                              (1.7.4)
      Это соотношение называют уравнением линейного межотраслево-
го баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение
носит название модели Леонтьева (по имени ее создателя).
      Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух це-
лях. Во-первых, когда известен вектор валового выпуска x , требуется рас-
считать вектор конечного потребления y . Во-вторых, когда для некоторо-
го периода времени известен вектор конечного потребления y , а требуется
определить вектор валового выпуска x , т. е. решается задача планирова-
ния производства.
      Система (1.7.4) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладно-
го характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы А и век-
торов x и y должны быть неотрицательными.
                         Продуктивные модели Леонтьева
     Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется про-
дуктивной, если для любого вектора y с неотрицательными компонента-
ми существует решение уравнения (1.7.4) − вектор x , все элементы кото-
рого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется
продуктивной.
     Теорема 1.7.1. Если для матрицы А с неотрицательными элемен-
тами и некоторого вектора y с неотрицательными компонентами урав-