ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
47
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++++=
++++=
++++=
....
...................................................
;...
;...
2211
222221212
112121111
nnnnnnn
nn
nn
yxaxaxax
yxaxaxax
yxaxaxax
(1.7.3)
Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной
продукции (вектор валового выпуска), объемов произведенной продукции
конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэф-
фициентов прямых затрат:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
x
x
x
x
...
2
1
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
y
y
y
y
...
2
1
, .
...
............
...
...
21
22221
11211
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Тогда система уравнений (1.7.3) запишется в матричной форме
.yxAx += (1.7.4)
Это соотношение называют
уравнением линейного межотраслево-
го баланса
. Вместе с описанием матричного представления это уравнение
носит название
модели Леонтьева (по имени ее создателя).
Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух це-
лях. Во-первых, когда известен вектор валового выпуска
x
, требуется рас-
считать вектор конечного потребления
y . Во-вторых, когда для некоторо-
го периода времени известен вектор конечного потребления
y , а требуется
определить вектор валового выпуска
x
, т. е. решается задача планирова-
ния производства.
Система (1.7.4) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладно-
го характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы
А и век-
торов
x
и y должны быть неотрицательными.
Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется про-
дуктивной
, если для любого вектора y с неотрицательными компонента-
ми существует решение уравнения (1.7.4) − вектор
x
, все элементы кото-
рого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется
продуктивной.
Теорема 1.7.1. Если для матрицы А с неотрицательными элемен-
тами и некоторого вектора
y с неотрицательными компонентами урав-
47 ⎧ x1 = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n + y1 ; ⎪ x = a x + a x + ... + a x + y ; ⎪ 2 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ (1.7.3) ⎪ ................................................... ⎪⎩ x n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n + y n . Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов произведенной продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэф- фициентов прямых затрат: ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟x ⎜ ⎟y ⎜a a 22 ... a 2 n ⎟ x = ⎜ 2 ⎟ , y = ⎜ 2 ⎟ , A = ⎜ 21 . ... ... ... ... ... ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ xn ⎠ ⎝ yn ⎠ ⎝ a n1 a n2 ... a nn ⎠ Тогда система уравнений (1.7.3) запишется в матричной форме x = A x + y. (1.7.4) Это соотношение называют уравнением линейного межотраслево- го баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева (по имени ее создателя). Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух це- лях. Во-первых, когда известен вектор валового выпуска x , требуется рас- считать вектор конечного потребления y . Во-вторых, когда для некоторо- го периода времени известен вектор конечного потребления y , а требуется определить вектор валового выпуска x , т. е. решается задача планирова- ния производства. Система (1.7.4) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладно- го характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы А и век- торов x и y должны быть неотрицательными. Продуктивные модели Леонтьева Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется про- дуктивной, если для любого вектора y с неотрицательными компонента- ми существует решение уравнения (1.7.4) − вектор x , все элементы кото- рого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной. Теорема 1.7.1. Если для матрицы А с неотрицательными элемен- тами и некоторого вектора y с неотрицательными компонентами урав-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »