Математика. Курзина В.М - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

48
нение (1.7.4) имеет решение
x
с неотрицательными компонентами, то
матрица А продуктивна.
.
Другими словами, достаточно установить наличие положительного
решения системы (1.7.4) хотя бы для одного положительного вектора
y ,
чтобы матрица
А была продуктивной.
Перепишем систему (1.7.4) с использованием единичной матрицы
Е
в виде
.)( yxAE =− (1.7.5)
Если существует обратная матрица
1
)(
−
− AE , то существует и един-
ственное решение уравнения (1.7.5):
.)(
1
yAEx
−
−=
Матрица
1
)(
−
− AE называется матрицей полных затрат.
Существует несколько
критериев продуктивности матрицы А:
1) матрица
А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
1
)(
−
− AE существует и ее элементы неотрицательны;
2) матрица
А с неотрицательными элементами продуктивна, если
сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
∑
=
≤
n
i
ij
a
1
,1
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше
единицы.
Пример 1.7.1. В табл. 1.7.1 приведены данные по балансу за год ме-
жду пятью отраслями промышленности. Найти векторы конечного потреб-
ления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат
и определить, является ли она продуктивной.
Т а б л и ц а 1.7.1
Данные по балансу за год между пятью отраслями промышленности
Потребление
№
п/п
Отрасль
1 2 3 4 5
Конечный
продукт
Валовой
выпуск,
ден. ед.
1 Лесная 15 12 24 23 16 10 100
2 Деревообрабатывающая 10 3 35 15 7 30 100
3 Торговля 10 5 10 10 10 5 50
4 Станкостроение 10 5 10 5 5 15 50
5 Топливная 7 15 15 10 3 50 100
Решение. Имеем согласно табл. 1.7.1. и формулам (1.7.3) и (1.7.4 ) 
                                     48

нение (1.7.4) имеет решение x с неотрицательными компонентами, то
матрица А продуктивна..
      Другими словами, достаточно установить наличие положительного
решения системы (1.7.4) хотя бы для одного положительного вектора y ,
чтобы матрица А была продуктивной.
      Перепишем систему (1.7.4) с использованием единичной матрицы Е
в виде
                    ( E − A) x = y.                            (1.7.5)

     Если существует обратная матрица ( E − A) −1 , то существует и един-
ственное решение уравнения (1.7.5):
                                    x = ( E − A) −1 y.
       Матрица ( E − A) −1 называется матрицей полных затрат.
       Существует несколько критериев продуктивности матрицы А:
       1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
( E − A) −1 существует и ее элементы неотрицательны;
       2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если
сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
                               n
                              ∑ a ij      ≤ 1,
                              i =1
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше
единицы.
      Пример 1.7.1. В табл. 1.7.1 приведены данные по балансу за год ме-
жду пятью отраслями промышленности. Найти векторы конечного потреб-
ления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат
и определить, является ли она продуктивной.
                                                       Т а б л и ц а 1.7.1
      Данные по балансу за год между пятью отраслями промышленности

                                                  Валовой
№ Отрасль                  Потребление   Конечный выпуск,
п/п                     1   2   3   4  5 продукт  ден. ед.
 1 Лесная               15 12 24 23 16      10      100
 2 Деревообрабатывающая 10 3 35 15 7        30      100
 3 Торговля             10 5 10 10 10        5       50
 4 Станкостроение       10 5 10 5      5    15       50
 5 Топливная            7 15 15 10 3        50      100

     Решение. Имеем согласно табл. 1.7.1. и формулам (1.7.3) и (1.7.4 )

Страницы