Математика. Курзина В.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

56
2. ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.1. Комплексные числа и операции с ними
Мнимой единицей называется символ i, который удовлетворяет
уравнению
01
2
=
+
x
, не имеющему решений в множестве действитель-
ных чисел:
,01
2
=+i
или .1
2
−
=
i
Выражение
21
izzz += , где z
1
и z
2
− любые действительные числа, а
i − мнимая единица, называют комплексным числом. Число z
1
называют
действительной частью числа, число z
2
− коэффициентом при мнимой еди-
нице, а
2
iz − мнимой частью комплексного числа.
Два комплексных числа
21
izzz
+
=
и
21
iuuu
+
=
равны тогда и толь-
ко тогда, когда
11
uz
=
и
22
uz = .
Действительные числа являются комплексными числами с нулевой
мнимой частью. Если у комплексного числа равна нулю действительная
часть, оно называется чисто мнимым числом.
Два комплексных числа
21
izzz
+
=
и
21
izzz
−
=
называют ком-
плексно сопряженными числами
. Число, комплексно сопряженное с чис-
лом
z, обозначается
z
.
Действия с комплексными числами
Сложение. Суммой комплексных чисел
21
izzz
+
=
и
21
iuuu +=
называется комплексное число
)()(
2211
uziuzuz
+
+
+
=
+
.
Вычитание. Разностью комплексных чисел
21
izzz
+
=
и
21
iuuu +=
называется комплексное число
)()(
2211
uziuzuz
−
+
−
=
−
.
Умножение. Произведением двух комплексных чисел
21
izzz += и
21
iuuu += называется комплексное число, получающееся их почленным
перемножением и равное
)()(
12212211
uzuziuzuzzu
+
+
−
=
.
Произведение двух комплексно сопряженных чисел есть неотрица-
тельное действительное число, поскольку
2
2
2
12121
))(( zzizzizzzz +=−+= .
Деление. Частным от деления двух комплексных чисел
21
izzz += и
21
iuuu += называется такое комплексное число, которое будучи умножено
на делитель, дает делимое:
2
2
2
1
2112
2
2
2
1
2211
2
1
uu
uzuz
uu
uzuz
z
z
+
−
+
+
+
=
. 
                                        56

          2. ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

               2.1. Комплексные числа и операции с ними

      Мнимой единицей называется символ i, который удовлетворяет
уравнению x 2 + 1 = 0 , не имеющему решений в множестве действитель-
ных чисел: i 2 + 1 = 0, или i 2 = −1.
      Выражение z = z1 + iz 2 , где z1 и z2 − любые действительные числа, а
i − мнимая единица, называют комплексным числом. Число z1 называют
действительной частью числа, число z2 − коэффициентом при мнимой еди-
нице, а iz 2 − мнимой частью комплексного числа.
      Два комплексных числа z = z1 + iz 2 и u = u1 + iu 2 равны тогда и толь-
ко тогда, когда z1 = u1 и z 2 = u 2 .
      Действительные числа являются комплексными числами с нулевой
мнимой частью. Если у комплексного числа равна нулю действительная
часть, оно называется чисто мнимым числом.
      Два комплексных числа z = z1 + iz 2 и z = z1 − iz 2 называют ком-
плексно сопряженными числами. Число, комплексно сопряженное с чис-
лом z, обозначается z .

                  Действия с комплексными числами

      Сложение. Суммой комплексных чисел z = z1 + iz 2 и u = u1 + iu 2
называется комплексное число z + u = ( z1 + u1 ) + i ( z 2 + u 2 ) .
      Вычитание. Разностью комплексных чисел z = z1 + iz 2 и u = u1 + iu 2
называется комплексное число z − u = ( z1 − u1 ) + i ( z 2 − u 2 ) .
      Умножение. Произведением двух комплексных чисел z = z1 + iz 2 и
u = u1 + iu 2 называется комплексное число, получающееся их почленным
перемножением и равное zu = ( z1u1 − z 2 u 2 ) + i ( z1u 2 + z 2 u1 ) .
      Произведение двух комплексно сопряженных чисел есть неотрица-
тельное действительное число, поскольку

                           z z = ( z1 + iz 2 )( z1 − iz 2 ) = z12 + z 22 .
      Деление. Частным от деления двух комплексных чисел z = z1 + iz 2 и
u = u1 + iu 2 называется такое комплексное число, которое будучи умножено
на делитель, дает делимое:
                      z1 z1u1 + z 2 u 2 z 2 u1 − z1u 2
                         =             +               .
                      z2   u12 + u 22      u12 + u 22

Страницы