Математика. Курзина В.М - 71 стр.

                                           71

     Говорят, что число A − предел последовательности { xn }, если для
любого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такой но-
мер N , что для всех членов последовательности с номерами n > N выпол-
няется неравенство
                                   xn − A < ε .
     Пишут lim xn = A .
                   n →∞
    Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, а не
имеющую предела − расходящейся.
                     n+6          1+ 6/ n
    Пример 3.1. lim        = lim            = 1.
                n→ ∞ n + 1   n→ ∞ 1 + 1 / n


                                        Упражнения

         Найти предел последовательности:

        2n − 3                         2 n 2 + 4n − 5                        n2 − n
1. lim 2       .                2. lim                .             3. lim          .
   n →∞ n + 1                      n→∞ 3n 2 + n + 1                    n →∞ n − n



         3n     sin n                  n + 15                          14n 3 + n − 25
4. lim        +       .        5. lim          .               6. lim                   .
   n →∞ n + 1     n               n→∞ n 2 + 12                    n→∞ 56n 3 + 8n 2 + 11



        n 2 − 4n                        3n 2   cos n                        2n 3 − 3
7. lim           .             8. lim 2      +       .               9. lim 2        .
   n →∞ n − 2 n                   n →∞ n + 1     n                      n →∞ n + 1



        2n 2 + 5n − 15                    n 2 − 7n                            4n 2 − n
10. lim 2              .         11. lim           .                 12. lim           .
    n→∞ 3n + 9n + 16                 n →∞ n − 7 n                        n →∞ 2 n − n



         4n 2 − 3n + 4              ⎛ 6n      sin n cos n ⎞                      n 3 − 9n
13. lim                .   14. lim ⎜        +             ⎟.      15. lim                    .
    n →∞    6n 2 + 1           n →∞ ⎝ n + 1        n      ⎠             n→∞ ( n 2 + 3n) ⋅ 2n



        3n + 81                                                 cos 2 (2n) ⋅ (n 3 + 64)
16. lim         ⋅ ( n + 2 − n − 1) .                   17. lim 2                        .
    n →∞ 2 − n                                             n →∞ ( n − 16) ⋅ ( 4n 2 + 8)



            n −1                     (2n + 33) ⋅ (n + 4)                       n − n +1
18. lim            .        19. lim                      .       20. lim                    .
     n →∞   n −2                n →∞      n 2 + 21                      n →∞   n + n+3

                                                                                    2 cos n
21. lim( n + 5 − n + 1) .      22. lim ( n 2 + 5 − n 2 − n ) .           23. lim            .
    n →∞                            n →∞                                       n →∞    n