Математика. Курзина В.М - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

72
24.
)125454(lim
233
−++−+
∞→
nnnnn
n
. 25.
nnn
nnn
n
106
5437
lim
35
34
−+
++−
∞→
.
26.
)55(
21
lim
666
33
++−
++−
∞→
nnn
nn
n
. 27.
1
3
2
lim
+
∞→
−
n
n
n
n
. 28.
nn
nn
n
43ln
ln
lim
++
+
∞→
.
29.
16
9
ln
77
33
lim
2
2
33
44
+
+
++−
++−
∞→
n
n
nn
nn
n
. 30.
44
)1ln()27ln(
lim
323
+−−
+−+++
∞→
nn
nnnn
n
.
3.3. Предел функции
Число
A
называют пределом функции )(
x
f
при a
x
→ , если для
любого сколь угодно малого положительного числа
ε
найдётся такое по-
ложительное число δ, что при
δ
<
−
ax справедливо неравенство
ε<− Axf )(. Пишут Axf
ax
=
→
)(lim .
Другими словами, число
A
называют пределом функции )(
x
f
, если
при стремлении последовательности значений аргумента
{}
n
x к числу a
последовательность соответствующих значений функции
{}
)(
n
xf стре-
мится к
A
.
Если предел функции ищут при стремлении аргумента к бесконечно-
сти, то пишут
Axf
x
=
∞→
)(lim .
Условно записывают
∞
=
→
)(lim xf
ax
, если функция неограниченно воз-
растает при стремлении аргумента к числу а, а при неограниченном убы-
вании функции пишут
−
∞
=
→
)(lim xf
ax
. В этих случаях функцию называют
бесконечно большой величиной.
Если
0)(lim =
→
xf
ax
функцию называют бесконечно малой величиной
при a
x
→ .
Бесконечно малые или бесконечно большие величины при a
x
→ на-
зываются
эквивалентными, если предел их отношения равен единице.
Если a
x
< и a
x
→ , пишут 0
−
→ a
x
; если a
x
> и a
x
→ , то пишут
0+→ a
x
. Числа
)(lim
0
)(
xff
ax
ax
−→
−
=
и
)(lim
0
)(
xff
ax
ax
+→
+
=
называют соот-
ветственно
левым и правым пределами функции )(
x
f
в точке а.
Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда,
когда существуют её правый и левый пределы и они равны.
При вычислении пределов применяют следующие их свойства. 
                                                     72



                   3             3          2                               7 n 4 − 3n 3 + 4n + 5
24. lim ( n + 4n − n + 5n + 4n − 125 ) .                            25. lim                       .
    n →∞                                                                n→∞ 6n 5 + n 3 − 10n



            n −1 + 3 n + 2
               3
                                                           2n − n                    ln n + n
26. lim 6 6                    .                   27. lim n+1 .           28. lim               .
    n →∞ n ( n − 5 + 6 n + 5 )                         n →∞ 3                  n→∞ ln n + 3 + 4n



          n − 3 + 4 n + 3 n2 + 9
           4
                                                               ln(n 3 + 7 n 2 + n + 2) − ln(n 3 + 1)
29. lim 3                ln        .                  30. lim                                        .
    n →∞  n − 7 + 3 n + 7 n 2 + 16                        n →∞            n−4− n+4


                                                3.3. Предел функции

     Число A называют пределом функции f (x) при x → a , если для
любого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое по-
ложительное число δ, что при x − a < δ справедливо неравенство
 f ( x) − A < ε . Пишут lim f ( x) = A .
                                 x →a
      Другими словами, число A называют пределом функции f (x) , если
при стремлении последовательности значений аргумента { xn } к числу a
последовательность соответствующих значений функции { f ( xn )} стре-
мится к A .
      Если предел функции ищут при стремлении аргумента к бесконечно-
сти, то пишут lim f ( x) = A .
                          x →∞
      Условно записывают lim f ( x) = ∞ , если функция неограниченно воз-
                                            x →a
растает при стремлении аргумента к числу а, а при неограниченном убы-
вании функции пишут lim f ( x) = −∞ . В этих случаях функцию называют
                                     x →a
бесконечно большой величиной.
     Если lim f ( x) = 0 функцию называют бесконечно малой величиной
                       x →a
при x → a .
     Бесконечно малые или бесконечно большие величины при x → a на-
зываются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.
     Если x < a и x → a , пишут x → a − 0 ; если x > a и x → a , то пишут
x → a + 0 . Числа f ( x − a ) = lim f ( x) и f ( x + a ) = lim f ( x) называют соот-
                                        x →a −0                     x →a + 0
ветственно левым и правым пределами функции f (x) в точке а.
      Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда,
когда существуют её правый и левый пределы и они равны.
      При вычислении пределов применяют следующие их свойства.

Страницы