Математика. Курзина В.М - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

73
Если существуют
)(lim xf
ax→
и )(lim xg
ax→
, то
1.
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
+
=
+
;
2.
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅
=⋅ ;
3.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
a
x
ax
ax
→
→
→
=
(при
0)(lim
≠
→
xg
ax
).
Также используются
замечательные пределы:
первый − 1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
и второй −
()
ez
x
z
z
x
x
=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→∞→
/1
0
1lim
1
1lim
.
При поиске пределов полезно иметь в виду следующие равенства:
1
arcsin
lim
0
=
→
x
x
x
; 1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
; a
x
a
x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
;
m
x
x
m
x
=
−+
→
1)1(
lim
0
.
Пример 3.2.
.375,0
8
3
lim
8
3
8/8sin
3/3sin
lim
8sin
3sin
lim
000
==⋅=
→→→
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xxx
Пример 3.3.
.
6
1
3
1
lim
)3)(3(
3
lim
9
3
lim
33
2
3
=
+
=
+−
−
=
−
−
→→→
xxx
x
x
x
xxx
Упражнения
Найти предел функции:
1.
2
65
lim
2
2
−
+−
→
x
xx
x
. 2.
4
64
lim
3
4
−
−
→
x
x
x
3.
x
xx
x
−−+
→
11
lim
0
.
4.
33
9
lim
2
3
−
−
→
x
x
x
. 5.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
1
1
2
1
lim
2
2
x
x
x
. 6.
1
2
lim
3
2
1
+
−−
→
x
xx
x
.
7.
(
)
1lim
2
++−
∞→
xxx
x
. 8.
(
)
xx
x
−+
−∞→
1lim
2
. 9.
13
110
lim
2
+
−
+
∞→
x
x
x
x
. 
                                                   73

      Если существуют lim f ( x) и lim g ( x) , то
                                 x→a             x→a


      1. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) ;
               x →a                x →a            x →a


      2. lim[ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) ;
               x →a               x →a           x →a



              f ( x) limx→a
                            f ( x)
      3. lim          =            (при lim g ( x) ≠ 0 ).
         x →a g ( x )   lim g ( x)      x →a
                        x →a


      Также используются замечательные пределы:
                                                                     x
             sin x                     ⎛ 1⎞
первый − lim       = 1 и второй − lim ⎜1 + ⎟ = lim (1 + z )1 / z = e .
         x→ 0 x                   x → ∞⎝  x⎠    z →0
     При поиске пределов полезно иметь в виду следующие равенства:

            arcsin x            ln( x + 1)            a x −1               ( x + 1) m − 1
       lim           = 1 ; lim             = 1 ; lim         = ln a ; lim                 =m.
       x →0    x           x →0      x           x →0    x            x →0        x

                             sin 3x         sin 3 x / 3 x 3 x      3x
      Пример 3.2. lim                = lim               ⋅ = lim       = 0,375.
                        x →0 sin 8 x   x →0 sin 8 x / 8 x 8 x x→ 0 8 x


                                x −3                  x−3                 1    1
      Пример 3.3. lim                    = lim                   = lim        = .
                        x →3   x2 −9      x → 3 ( x − 3)( x + 3)   x→ 3 x + 3  6

                                          Упражнения

      Найти предел функции:

       x 2 − 5x + 6                           x 3 − 64                              1+ x − 1− x
1. lim              .                  2. lim                            3. lim                 .
   x→2     x−2                            x→4 x − 4                         x →0         x

           9 − x2                         ⎛ 1        1 ⎞                               x2 − x − 2
4. lim             .                5. lim⎜       − 2   ⎟.                 6. lim                 .
   x→3      3x − 3                     x→2⎝ x − 2  x − 1⎠                          x→1   x3 + 1


    x →∞
           (
7. lim x − x 2 + x + 1 .    )       8. lim
                                          x→−∞
                                                 (x   2
                                                                )
                                                          +1 − x .          9. lim
                                                                                         10 x + 1
                                                                                         2
                                                                                   x →∞ x − 3 x + 1
                                                                                                    .

Страницы