Математика. Курзина В.М - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

76
87.
xx
x
x
x
ln
1
lim
1
−
→
. 88.
x
x
x
2
cosec
0
)cos2(lim −
→
. 89.
2
0
23
79
lim
x
x
xx
x
+
−
→
.
90.
x
x
x
x
−
+
→
2
2
0
)33(ln
lim
. 91.
x
ex
x
x
5sin
)1(
lim
5
0
−+
→
. 92.
)1arcsin(
1)2(
lim
7
1
+
−+
−→
x
x
x
.
93.
248
2/sin)2(
lim
4
3
−
π−−
→
x
x
x
. 94.
x
x
x
3sin
1)1(
lim
9
0
−+
→
. 95.
15
1)1(
lim
2
0
+
−+
→
x
x
x
.
96.
2
10
0
)2ln()1(
lim
x
xx
x
+−+
→
. 96.
3
0
5
12
lim
3
x
x
x
−
→
. 97.
xx
xx
x
arcsinsin
arctg
lim
0→
.
98.
)3/(arctg9sin
)1)(1ln(
lim
0
xx
ex
x
x
⋅
−+
→
. 99.
)65ln(
)2ln()1(
lim
5
0
+
+−+
→
x
xx
x
. 100.
)1ln(
0
lim
+
→
x
x
x
x
x
.
3.4. Непрерывность функции одной переменной
Функцию )(
x
f
называют непрерывной в точке a , если:
1) функция определена в некоторой окрестности точки a ;
2) существует
)(lim xf
ax→
;
3)
)()(lim afxf
ax
=
→
.
Пример 3.4. Функция
x
y
1
= в точке 0
=
x
имеет разрыв, а во всех
других точках оси абсцисс непрерывна.
Теорема. Функция непрерывна тогда и только тогда, когда беско-
нечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Функция, непрерывная в каждой точке области называется
непре-
рывной в области.
Пример 3.5. Функции xyeyxy
x
sin,, === непрерывны всюду в об-
ласти определения, т.е. на оси .0
x
Если левый и правый пределы функции в точке a существуют и рав-
ны друг другу, но не равны значению функции, говорят, что функция име-
ет
устранимый разрыв. Функция имеет в точке a разрыв типа конечного
скачка
, если левый и правый пределы функции в точке a существуют, ко-
нечны, но не равны друг другу. Разность )0()0( −
−
+
a
f
a
f
определяет
величину скачка. Оба типа рассмотренных разрывов относят к разрывам
первого рода. 
                                                   76

         xx −1                                            cosec 2 x                      9x − 7x
87. lim         .                 88. lim (2 − cos x)                 .        89. lim              .
    x →1 x ln x                        x →0                                        x →0 3 x + 2 x 2



         ln 2 (3 x + 3)                    ( x + 1) 5 − e x                        ( x + 2) 7 − 1
90. lim                 .         91. lim                   .             92. lim                 .
    x →0    x2 − x                    x →0     sin 5 x                        x→−1 arcsin( x + 1)



         ( x − 2) 4 − sin π / 2                     ( x + 1) 9 − 1                     ( x + 1) 2 − 1
93. lim                         .          94. lim                 .          95. lim                 .
    x →3       8 x − 24                        x →0     sin 3 x                   x →0     5x + 1
                                                          3

         ( x + 1)10 − ln( x + 2)                      2x − 1                             xarctgx
96. lim                          .            96. lim        .                97. lim                .
    x →0            x2                            x →0 5 x 3                      x→0 sin x arcsin x



           ln( x + 1)(e x − 1)                    ( x + 1) 5 − ln( x + 2)                           xx
98. lim                          .       99. lim                          .        100. lim                    .
    x →0 sin 9 x ⋅ arctg( x / 3)             x →0       ln(5 x + 6)                       x →0   x ln( x +1)


                    3.4. Непрерывность функции одной переменной

       Функцию f (x) называют непрерывной в точке a , если:
       1) функция определена в некоторой окрестности точки a ;
       2) существует lim f ( x) ;
                            x→a
       3) lim f ( x) = f (a ) .
           x →a
                                 1
       Пример 3.4. Функция y =     в точке x = 0 имеет разрыв, а во всех
                                 x
других точках оси абсцисс непрерывна.
      Теорема. Функция непрерывна тогда и только тогда, когда беско-
нечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
      Функция, непрерывная в каждой точке области называется непре-
рывной в области.
      Пример 3.5. Функции y = x, y = e x , y = sin x непрерывны всюду в об-
ласти определения, т.е. на оси 0x.
      Если левый и правый пределы функции в точке a существуют и рав-
ны друг другу, но не равны значению функции, говорят, что функция име-
ет устранимый разрыв. Функция имеет в точке a разрыв типа конечного
скачка, если левый и правый пределы функции в точке a существуют, ко-
нечны, но не равны друг другу. Разность f (a + 0) − f (a − 0) определяет
величину скачка. Оба типа рассмотренных разрывов относят к разрывам
первого рода.

Страницы